Matematyka, matura przykładowa 2015 - poziom rozszerzony - pytania i odpowiedzi

Dane są dwie urny z kulami, w każdej jest 5 kul. W pierwszej urnie jest jedna kula biała i 4 kule czarne. W drugiej urnie są 3 kule białe i 2 kule czarne. Rzucamy jeden raz symetryczną sześcienną kostką do gry. Jeśli wypadnie jedno lub dwa oczka, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, natomiast jeśli wypadną co najmniej trzy oczka, to losujemy jedną kulę z drugiej urny. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe

Okrąg o₁ ma równanie x² + (y – 1)² = 25, a okrąg o₂ ma równanie (x – 1)² + y² = 9. Określ wzajemne położenie tych okręgów.

Dla każdego α suma sinα + sin3α jest równa

Liczba n jest najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą równanie
2⋅|x + 57| = |x – 39|
Wpisz cyfry: setek, dziesiątek i jedności liczby |n|.

Punkty P₁, P₂, P₃, ..., P₂₃, P₂₄ dzielą okrąg na 24 równe łuki (zobacz rysunek). Punkt A jest punktem przecięcia cięciw P₁₁P₂₂ i P₁P₁₆.

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których prosta o równaniu y = mx + (2m + 3) ma dokładnie dwa punkty wspólne z okręgiem o środku w punkcie S = (0, 0) i promieniu r = 3.

Dana jest parabola o równaniu y = x² + 1 i leżący na niej punkt A o współrzędnej x równej 3. Wyznacz równanie stycznej do tej paraboli w punkcie A.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość a. Kąt między krawędzią boczną, a krawędzią podstawy ma miarę α > 45° (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Punkty M i L leżą odpowiednio na bokach AB i AC trójkąta ABC, przy czym zachodzą równości |MB| = 2⋅|AM| oraz |LC| = 3⋅|AL|. Punkt S jest punktem przecięcia odcinków BL i CM. Punkt K jest punktem przecięcia półprostej AS z odcinkiem BC (zobacz rysunek).

Oblicz, ile jest stucyfrowych liczb naturalnych o sumie cyfr równej 4.

Dany jest prostokątny arkusz kartonu o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe naroża (zobacz rysunek).