dlamaturzysty.info

Wybrane wzory i tablice matematyczne do matury

Spis treści

1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY

Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x definiujemy wzorem:


Liczba x jest to odległość na osi liczbowej punktu x od punktu 0.

Dla dowolnej liczby x mamy:
|x| ≥ 0
|x| = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0
|–x| = |x|

Dla dowolnych liczb x, y mamy:
|x + y| ≤ |x| + |y|
|x – y| ≤ |x| + |y|
|x · y| = |x| · |y|

Ponadto, jeśli y ≠ 0 , to

Dla dowolnych liczb a oraz r ≥ 0 mamy:
|x – a| ≤ r wtedy i tylko wtedy, gdy a – r ≤ x ≤ a + r
|x – a| ≥ r wtedy i tylko wtedy, gdy x ≤ a – r lub x ≥ a + r

2. POTĘGI I PIERWIASTKI


Niech n będzie liczbą całkowitą dodatnią. Dla dowolnej liczby a definiujemy jej n-tą potęgę:
Pierwiastkiem arytmetycznym 1_1.png stopnia n z liczby a ≥ 0
nazywamy liczbę b ≥ 0 taką, że bn = a.
W szczególności, dla dowolnej liczby a zachodzi równość:
Jeżeli a < 0 oraz liczba n jest nieparzysta, to 1_1.png oznacza liczbę b < 0 taką, że bn = a.
Pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istnieją.

Niech m, n będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Definiujemy:


Niech r, s będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli a > 0 i b > 0, to zachodzą równości:


Jeżeli wykładniki r, s są liczbami całkowitymi, to powyższe wzory obowiązują dla wszystkich liczb a ≠ 0 i b ≠ 0.

3. LOGARYTMY

Logarytmem logac dodatniej liczby c przy dodatniej i różnej od 1 podstawie a nazywamy wykładnik b potęgi, do której należy podnieść a, aby otrzymać c:

logac = b wtedy i tylko wtedy, gdy ab = c

Równoważnie:

alogac = c

Dla dowolnych liczb x > 0 , y > 0 oraz r zachodzą wzory:


Wzór na zamianę podstawy logarytmu:
jeżeli a > 0 , a ≠ 1 , b > 0, b ≠ 1 oraz c > 0, to


Logarytm log10x można też zapisać jako log x lub lg x.

4. SILNIA. WSPÓŁCZYNNIK DWUMIANOWY

Silnią liczby całkowitej dodatniej n nazywamy iloczyn kolejnych liczb całkowitych od 1 do n włącznie:

n! = 1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ n

Ponadto przyjmujemy umowę, że 0! = 1.
Dla dowolnej liczby całkowitej n ≥ 0 zachodzi związek:

(n + 1)! = n! ⋅ (n + 1)

Dla liczb całkowitych n, k spełniających warunki
0 ≤ kn
definiujemy współczynnik dwumianowy 6_wspolczynnik_dwumianowy.png

Zachodzą równości:


5. WZÓR DWUMIANOWY NEWTONA

Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n oraz dla dowolnych liczb a, b mamy:


6. WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA

Dla dowolnych liczb a, b:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

(a + b)3 = a3 +3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n oraz dowolnych liczb a, b zachodzi wzór:

an – bn = (a – b)(an–1 + an–2b + ... + an–kbk–1 + ... + abn–2 + bn–1

W szczególności:

a2 – b2 = (a – b)(a + b)
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

a2 – 1 = (a – 1)(a + 1)
a3 – 1 = (a – 1)(a2 + a + 1)
a3 + 1 = (a + 1)(a2 – a + 1)
an – 1 = (a – 1)(an–1 + an–2 + ... + a + 1)

7. CIĄGI

• Ciąg arytmetyczny

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego (an) o pierwszym wyrazie a1 i różnicy r:

ana1 + (n − 1) r

Wzór na sumę Sna1 + a2 + ... + an początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego:


Między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi związek:


• Ciąg geometryczny

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego  (an) o pierwszym wyrazie a1 i ilorazie q:

an = a1 ⋅ qn − 1 dla n ≥ 2

Wzór na sumę Sn = a1 + a2 + ... + an początkowych n wyrazów ciągu geometrycznego:


Między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi związek:


• Procent składany

Jeżeli kapitał początkowy K złożymy na n lat w banku, w którym oprocentowanie lokat wynosi p% w skali rocznej i kapitalizacja odsetek następuje po upływie każdego roku trwania lokaty, to kapitał końcowy Kn wyraża się wzorem:


8. FUNKCJA KWADRATOWA

Postać ogólna funkcji kwadratowej:

Wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej:


Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych (p,q). 
Ramiona paraboli skierowane są do góry, gdy a > 0 ; do dołu, gdy a < 0.

Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej ƒ(x) = ax2 + bx + c (liczba pierwiastków trójmianu kwadratowego, liczba rzeczywistych rozwiązań równania ax2 + bx + c = 0), zależy od wyróżnika ∆ = b2 − 4ac:

– jeżeli ∆ < 0, to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków rzeczywistych, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych), 

– jeżeli ∆ = 0, to funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe (trójmian kwadratowy ma jeden pierwiastek podwójny, równanie kwadratowe ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste):

– jeżeli ∆ > 0, to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania rzeczywiste):

Jeśli ∆ ≥ 0 , to wzór funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci iloczynowej:


• Wzory Viéte’a

Jeśli ∆ ≥ 0 , to 


9. GEOMETRIA ANALITYCZNA

• Odcinek

Długość odcinka o końcach w punktach

jest dana wzorem:


Współrzędne środka odcinka AB:


• Wektory

Współrzędne wektora wektor_ab.png:


Jeżeli 08.gif są wektorami, zaś a jest liczbą, to


• Prosta

Równanie ogólne prostej:

Ax + By + C = 0,

gdzie A2 + B2 ≠ 0 (tj. współczynniki A, B nie są równocześnie równe 0).

Jeżeli A = 0, to prosta jest równoległa do osi Ox; jeżeli B = 0, to prosta jest równoległa do osi Oy;
jeżeli C = 0, to prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych.

Jeżeli prosta nie jest równoległa do osi Oy, to ma ona równanie kierunkowe:

y = ax + b


Liczba a to współczynnik kierunkowy prostej:

a = tg α

Współczynnik b wyznacza na osi Oy punkt, w którym dana prosta ją przecina.

Równanie kierunkowe prostej o współczynniku kierunkowym a, która przechodzi przez punkt P = (x0,y0):

y = a(x − x0) + y0

Równanie prostej, która przechodzi przez dwa dane punkty A = (xA,yA), B = (xB,yB)


• Prosta i punkt

Odległość punktu P = (x0,y0) od prostej o równaniu Ax + By + C = 0 jest dana wzorem:


• Para prostych

Dwie proste o równaniach kierunkowych:

y = a1x + b1
y = a2x + b2

spełniają jeden z następujących warunków:

– są równoległe, gdy a1 = a2
– są prostopadłe, gdy a1a2 = − 1
– tworzą kąt ostry φ i 012.gif

Dwie proste o równaniach ogólnych:

A1x + B1y + C1 = 0
A2x + B2y + C2 = 0

– są równoległe, gdy A1B2 − A2B1 = 0
– są prostopadłe, gdy A1A2 + B1B2 = 0
– tworzą kąt ostry φ i 013.gif

• Trójkąt

Pole trójkąta ABC o wierzchołkach
jest dane wzorem:


Środek ciężkości trójkąta ABC, czyli punkt przecięcia jego środkowych, ma współrzędne:


• Przekształcenia geometryczne

– przesunięcie o wektor 015.png przekształca punkt A = (x,y) na punkt A'= (x + a,y + b)
– symetria względem osi Ox przekształca punkt A = (x,y) na punkt A' = (x,−y)
– symetria względem osi Oy przekształca punkt A = (x,y) na punkt A' = (−x,y)
– symetria względem punktu (a,b) przekształca punkt A = (x,y) na punkt A' = (2a − x,2b − y)
– jednokładność o środku w punkcie O i skali s ≠ 0 przekształca punkt A na punkt A' taki, że  a więc, jeśli O = (x0,y0) , to jednokładność ta przekształca punkt A = (x,y) na punkt 

• Równanie okręgu

Równanie okręgu o środku w punkcie S = (a,b) i promieniu r > 0:

lub

10. PLANIMETRIA

• Cechy przystawania trójkątów


To, że dwa trójkąty ABC i DEF są przystające (∆ABC ≡ ∆DEF) , możemy stwierdzić na podstawie każdej z następujących cech przystawania trójkątów:

– cecha przystawania „bok – bok – bok”:
odpowiadające sobie boki obu trójkątów mają te same długości:

– cecha przystawania „bok – kąt – bok”:
dwa boki jednego trójkąta są równe odpowiadającym im bokom drugiego trójkąta oraz kąt zawarty między tymi bokami jednego trójkąta ma taką samą miarę jak odpowiadający mu kąt drugiego trójkąta, np.

– cecha przystawania „kąt – bok – kąt”:
jeden bok jednego trójkąta ma tę samą długość, co odpowiadający mu bok drugiego trójkąta oraz miary odpowiadających sobie kątów obu trójkątów, przyległych do boku, są równe, np.

• Cechy podobieństwa trójkątów

To, że dwa trójkąty ABC i DEF są podobne (∆ABC ~ ∆DEF) , możemy stwierdzić na podstawie każdej z następujących cech podobieństwa trójkątów:

– cecha podobieństwa „bok – bok – bok”:
długości boków jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich długości boków drugiego trójkąta, np.

– cecha podobieństwa „bok – kąt – bok”:
długości dwóch boków jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich długości dwóch boków drugiego trójkąta i kąty między tymi parami boków są przystające, np.

– cecha podobieństwa „kąt – kąt – kąt”:
dwa kąty jednego trójkąta są przystające do odpowiednich dwóch kątów drugiego trójkąta (więc też i trzecie kąty obu trójkątów są przystające:

Przyjmujemy oznaczenia w trójkącie ABC:
a, b, c – długości boków, leżących odpowiednio naprzeciwko wierzchołków A, B, C
2p=a+b+c – obwód trójkąta
α, β, γ – miary kątów przy wierzchołkach A, B, C
ha, hb, hc – wysokości opuszczone z wierzchołków A, B, C
R, r – promienie okręgów opisanego i wpisanego


• Twierdzenie sinusów



• Twierdzenie cosinusów


• Wzory na pole trójkąta


• Twierdzenie Pitagorasa

(wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego)
W trójkącie ABC kąt γ jest prosty wtedy i tylko wtedy, 
gdy a2 + b2 = c2

• Związki miarowe w trójkącie prostokątnym


Załóżmy, że kąt γ jest prosty. Wówczas:


• Trójkąt równoboczny


• Twierdzenie Talesa

(wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego)

Różne proste AC i BD przecinają się w punkcie P, przy czym spełniony jest jeden z warunków:
– punkt A leży wewnątrz odcinka PC oraz punkt B leży wewnątrz odcinka PD
lub
– punkt A leży na zewnątrz odcinka PC oraz punkt B leży na zewnątrz odcinka PD.
Wówczas proste AB i CD są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy


• Czworokąty

Trapez

Czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych.
Wzór na pole trapezu:


Równoległobok


Czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych.
Wzory na pole równoległoboku:


Romb

Czworokąt, który ma wszystkie boki jednakowej długości.
Wzory na pole rombu:


Deltoid

Czworokąt wypukły, który ma oś symetrii zawierającą jedną z przekątnych.
Wzór na pole deltoidu:


• Koło


Wzór na pole koła o promieniu r:
P = πr2

Obwód koła o promieniu r:
L = 2πr

• Wycinek koła



Wzór na pole wycinka koła o promieniu r i kącie środkowym α
wyrażonym w stopniach:

Długość łuku AB wycinka koła o promieniu r i kącie środkowym α wyrażonym w stopniach:

• Kąty w okręgu



Miara kąta wpisanego w okrąg jest równa połowie miary kąta środkowego, opartego na tym samym łuku.

Miary kątów wpisanych w okrąg, opartych na tym samym łuku, są równe.

Miary kątów wpisanych w okrąg, opartych na łukach równych, są równe.

• Twierdzenie o kącie między styczną i cięciwą




Dany jest okrąg o środku w punkcie O i jego cięciwa AB. Prosta AC jest styczna do tego okręgu w punkcie A. 
Wtedy |∢AOB| = 2 ⋅ |∢CAB|, przy czym wybieramy ten z kątów środkowych AOB, który jest oparty na łuku znajdującym się wewnątrz kąta CAB.

• Twierdzenie o odcinkach stycznych

Jeżeli styczne do okręgu w punktach A i B przecinają się w punkcie P, to
|PA| = |PB|

1.4.png

• Twierdzenie o odcinkach siecznej i stycznej

Dane są: prosta przecinająca okrąg w punktach A i B oraz prosta styczna do tego okręgu w punkcie C. Jeżeli proste te przecinają się w punkcie P, to
|PA| ⋅ |PB| = |PC|2

• Okrąg opisany na czworokącie


Na czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar jego przeciwległych kątów wewnętrznych są równe 180°:
α + γ = β + δ = 180°

• Okrąg wpisany w czworokąt



W czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości jego przeciwległych boków są równe:
a + c = b + d

11. STEREOMETRIA

• Twierdzenie o trzech prostych prostopadłych



Prosta k przebija płaszczyznę w punkcie P. Prosta l jest rzutem prostokątnym prostej k na tę płaszczyznę.
Prosta m leży na tej płaszczyźnie i przechodzi przez punkt P.
Wówczas prosta m jest prostopadła do prostej k wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do prostej l.

Przyjmujemy oznaczenia:
P – pole powierzchni całkowitej
Pp – pole podstawy
Pb – pole powierzchni bocznej
V – objętość

• Prostopadłościan


P = 2(ab + bc + ac)
V = abc
gdzie a, b, c są długościami krawędzi prostopadłościanu

• Graniastosłup prosty


Pb = 2ph
V = Pph
gdzie 2p jest obwodem podstawy graniastosłupa

• Ostrosłup


V = 1Pph
gdzie h jest wysokością ostrosłupa

• Walec


Pb = 2πrh
P = 2πr(r + h)
V = πr2h
gdzie r jest promieniem podstawy, h – wysokością walca

• Stożek


Pb = πrl
P = πr(r + l)
V13 πr2h
gdzie r jest promieniem podstawy, h – wysokością, l – długością tworzącej stożka

• Kula


P = 4πr2
V = 43 πr3 
gdzie r jest promieniem kuli

12. TRYGONOMETRIA

• Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym



• Definicje funkcji trygonometrycznych


promieniem wodzącym punktu M

• Wykresy funkcji trygonometrycznych



• Związki między funkcjami tego samego kąta

dla
k - całkowite

• Niektóre wartości funkcji trygonometrycznych

• Funkcje sumy i różnicy kątów

Dla dowolnych kątów α, β zachodzą równości:

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

Ponadto mamy równości:
które zachodzą zawsze, gdy są określone i mianownik prawej strony nie jest zerem.

• Funkcje podwojonego kąta

sin 2α = 2sinα cosα
cos 2α = cos2 α – sin2 α = 2cos2 α  – 1 = 1 – 2 sin2 α

• Sumy, różnice i iloczyny funkcji trygonometrycznych


sin α sin β = – ½ (cos (α + β) – cos (α – β))
cos α cos β = ½ (cos (α + β) + cos (α – β))
sin α cos β = ½ (sin (α + β) + sin (α – β))

• Wybrane wzory redukcyjne

sin (90° – α) = cos α
sin (90° + α) = cosα
sin (180° – α) = sin α
sin (180° + α) = – sin α

cos (90° – α) = sin α
cos (90° + α) = – sin α
cos (180° – α) = – cos α
cos (180° + α) = – cos α

tg (180° – α) = – tg α
tg (180° + α) = tg α

• Okresowość funkcji trygonometrycznych

sin (α + k⋅360°) = sin α
cos (α + k⋅360°) = cos α
tg (α + k⋅180°) = tg α
k – całkowite

13. KOMBINATORYKA

• Wariacje z powtórzeniami

Liczba sposobów, na które z n różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z k niekoniecznie różnych wyrazów, jest równa nk.

• Wariacje bez powtórzeń

Liczba sposobów, na które z n różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z k (1 ≤ kn) różnych wyrazów, jest równa

• Permutacje

Liczba sposobów, na które n (n ≥ 1) różnych elementów można ustawić w ciąg, jest równa n!.

• Kombinacje

Liczba sposobów, na które spośród n różnych elementów można wybrać k (0 ≤ k ≤ n) elementów, jest równa 

14. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

• Własności prawdopodobieństwa

0 ≤ P(A) ≤ 1
dla każdego zdarzenia A ⊂ Ω

P(Ω) = 1
Ω - zdarzenie pewne

P(Ø) = 0
Ø - zdarzenie niemożliwe (pusty podzbiór Ω)

P(A) ≤ P(B)
gdy AB ⊂ Ω

P(A') = 1 – P(A)
gdzie A' oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia A

P(B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
dla dowolnych zdarzeń A, B ⊂ Ω

P(∪ B) ≤ P(A) + P(B)
dla dowolnych zdarzeń AB ⊂ Ω

• Twierdzenie: Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Niech Ω będzie skończonym zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych. Jeżeli wszystkie zdarzenia jednoelementowe są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zdarzenia A ⊂ Ω jest równe
1.35.png
gdzie |A| oznacza liczbę elementów zbioru A, zaś |Ω| – liczbę elementów zbioru Ω.

• Prawdopodobieństwo warunkowe

Niech A, B będą zdarzeniami losowymi zawartymi w Ω, przy czym P(B) > 0. Prawdopodobieństwem warunkowym P(| B) nazywamy liczbę

• Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

Jeżeli zdarzenia losowe B1, B2, ..., Bn zawarte w Ω spełniają warunki:
1. B1B2, ..., Bn są parami rozłączne, tzn. Bi  ∩ Bj = ∅ dla i ≠ j,
1 ≤ i ≤ n
1 ≤ j ≤ n
2. B1B2 ∪ ... ∪ Bn = Ω
3. P(Bi) > 0 dla 1 ≤ in
to dla każdego zdarzenia losowego A zawartego w Ω zachodzi równość
P(A) = P(A | B1) ⋅ P(B1) + P(A | B2) ⋅ P(B2) + ... +  P(A | Bn) ⋅ P(Bn)

15. PARAMETRY DANYCH STATYSTYCZNYCH

• Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna n liczb a1 , a2 , ..., an jest równa:
1.37.png 

• Średnia ważona

Średnia ważona n liczb a1 , a2 , ..., an , którym przypisano dodatnie wagi – odpowiednio: w1 , w2 , ..., wn jest równa:

• Średnia geometryczna

Średnia geometryczna n nieujemnych liczb a1 , a2 , ..., an jest równa:
1.39.png

• Mediana

Medianą uporządkowanego w kolejności niemalejącej zbioru n danych liczbowych a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ an jest:
– dla n nieparzystych: 1.40.png (środkowy wyraz ciągu)
– dla n parzystych: 1.41.png (średnia arytmetyczna środkowych wyrazów ciągu)

• Wariancja i odchylenie standardowe

Wariancją n danych liczbowych a1 , a2 , ..., an o średniej arytmetycznej 1.42.png jest liczba:


Odchylenie standardowe σ jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji. 

16. GRANICA CIĄGU

• Granica sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów

Dane są ciągi (an) i (bn), określone dla n ≥ 1.

Jeżeli
to


Jeżeli ponadto bn ≠ 0 dla n ≥ 1 oraz b ≠ 0, to

• Suma wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (an), określony dla n ≥ 1, o ilorazie q
Niech (Sn) oznacza ciąg sum początkowych wyrazów ciągu (an), to znaczy ciąg określony wzorem
Sn = a1 + a2 + ... + an
dla n ≥ 1.

Jeżeli |q| < 1, to ciąg (Sn) ma granicę

Tę granicę nazywamy sumą wszystkich wyrazów ciągu (an).

17. POCHODNA FUNKCJI

• Pochodna sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji

• Pochodne niektórych funkcji

Niech a, b, c będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi, n dowolną liczbą całkowitą.

• Równanie stycznej

Jeżeli funkcja ƒ ma pochodną w punkcie x0, to równanie stycznej do wykresu funkcji ƒ w punkcie (x0, ƒ(x0)) dane jest wzorem
y = ax + b
gdzie współczynnik kierunkowy stycznej jest równy wartości pochodnej funkcji ƒ w punkcie x0, to znaczy a = ƒ′(x0), natomiast b = ƒ(x0) – ƒ′(x0) ⋅ x0. Równanie stycznej możemy zapisać w postaci
y = ƒ′(x0) ⋅ (x – x0) + ƒ(x0)

18. TABLICA WARTOŚCI FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH



Polityka Prywatności