Matematyka, matura 2026 - poziom rozszerzony - pytania i odpowiedzi

Ze zbioru ośmiu liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} losujemy bez zwracania osiem razy po jednej liczbie. Wylosowane liczby ustawiamy w ciąg zgodnie z kolejnością losowania.

Punkty K i L są środkami – odpowiednio – boków AB i BC kwadratu ABCD o boku długości a. Punkt M jest takim punktem na boku BC, że odcinki DK i KM są prostopadłe.
Odcinek AL przecina odcinki DK oraz DM w punktach – odpowiednio – P oraz Q (zobacz rysunek).

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkty A = (1, −1) oraz B = (4, 0) są wierzchołkami trójkąta ABC, w którym |CA| = |CB|. Jedno z ramion trójkąta ABC zawiera się w prostej o równaniu x + 2y − 4 = 0. Na boku AC tego trójkąta obrano taki punkt M, że |AM| ∶ |MC| = 1 ∶ 4.

Wyznacz równanie okręgu, który ma środek w punkcie M i przechodzi przez punkt C. Zapisz obliczenia.

W czworokącie ABCD są dane: |AB| = 9, |AD| = 10 oraz |∡BAD| = 60°. W ten czworokąt wpisano okrąg oraz na tym czworokącie opisano okrąg (zobacz rysunek).

W projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości x metrów nieprzekraczającej 10 metrów. Na tym kwietniku ma znajdować się fontanna w kształcie koła o średnicy 4 metrów, które ma być styczne do każdego z boków trójkątnego kwietnika (zobacz rysunek). Projektantowi zależy, aby przy tak ustalonej wielkości fontanny pole tego kwietnika było najmniejsze.