Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

Wyznaczmy dziedzinę funkcji L. Z warunków zadania wynika, że a > h, więc a > 2 − a.
Stąd a > 1. Jeśli a = 1, to czworokąt jest kwadratem. Ponadto a < 2. Jeśli a = 2 , to h = 0 i zamiast trapezu mamy do czynienia z odcinkiem o długości 2.

Rozważany trapez istnieje jedynie dla a ∈ (1,2).

Z warunków zadania otrzymujemy

a + h = 2 , skąd h = 2 − a.

Ponieważ w trapez można wpisać okrąg, więc
a + b = 2c.

Obwód L trapezu jest więc równy
L = a + b + 2c = 2 (a + b).

Trapez jest równoramienny, więc odcinki AE i FB mają tę samą długość równą

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta BCF otrzymujemy

Zatem

czyli

Pochodna funkcji L jest równa

Ponieważ dla każdego a ∈ (1,2) prawdziwa jest nierówność

więc

Oznacza to, że w przedziale (1,√2⟩ funkcja L jest malejąca, w przedziale ⟨√2, 2) jest rosnąca, a w punkcie a = 2 osiąga minimum lokalne, które jest zarazem jej najmniejszą wartością.

Tangens kąta ostrego trapezu o najmniejszym obwodzie jest równy

więc dla a = √2 wartość tangensa jest równa

co oznacza, że ∢ ABC = 45°.

I. Pierwszy etap, który oceniamy na 3 punkty, składa się z trzech części:

I.1) wyznaczenie wszystkich wartości a, dla których istnieje trapez o podanych własnościach, czyli dziedziny funkcji L:

D_L = (1, 2)

(Za wyznaczenie dziedziny uznaje się też zapisanie dwóch nierówności:

2 – a > 0, a > 2 – a)

I.2) zapisanie poprawnej zależności między wielkościami a i b, np.:

I.3) wykazanie, że obwód L trapezu, jako funkcja zmiennej a, wyraża się wzorem:

Za poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.

II. Drugi etap (3 punkty) składa się z trzech części:

II.1) wyznaczenie pochodnej funkcji:

 lub 

II.2) obliczenie miejsc zerowych pochodnej funkcji ƒ:

a = −√2 lub a = √2

II.3) uzasadnienie (np. badanie monotoniczności funkcji), że funkcja L posiada wartość najmniejszą dla a = √2.

III. Trzeci etap (1 punkt) – obliczenie tangensa kąta ostrego trapezu o najmniejszym polu:

tg ∢ABC = 1.

1. Za poprawne uzasadnienie, że funkcja L posiada wartość najmniejszą dla wyznaczonej wartości a, przy której pochodna się zeruje można uznać sytuacje, gdy zdający:

- opisuje, słownie lub graficznie (np. przy użyciu strzałek), monotoniczność funkcji L;

- zapisuje, że dla wyznaczonej wartości a funkcja L ma minimum lokalne i jest to jednocześnie jej najmniejsza wartość. Jeżeli zdający nie przedstawi takiego uzasadnienia, to za II etap może otrzymać co najwyżej 2 punkty.

2. Jeżeli zdający przyjmuje, że dziedziną funkcji L jest przedział (0,+∞) lub nie wyznaczy tej dziedziny, to nie otrzymuje punktów za realizację części II.3.

3. Jeżeli zdający przyjmuje, że dziedziną funkcji L jest przedział (0, 2) lub zapisze warunki:

2 − a > 0 i a > 0 , to może otrzymać 1 punkt za realizację części II.3., o ile uzasadni istnienie najmniejszej wartości funkcji.

4. Jeżeli zdający przyjmuje, że dziedziną funkcji L jest przedział (1, +∞) lub zapisze warunki: a > h i h > 0 , lub zapisze warunek a > 2 – a, to może otrzymać 1 punkt za realizację części II.3., o ile uzasadni istnienie najmniejszej wartości funkcji.

5. Jeżeli zdający przyjmuje, że dziedziną funkcji L jest przedział ⟨1,2), to za realizację etapu I.1 otrzymuje 1 punkt.

6. Jeżeli zdający w wyniku błędów nie wyznaczy poprawnie długości dłużej podstawy trapezu o najmniejszym obwodzie, ale dla wyznaczonej wartości a obliczy tangens kąta ostrego trapezu, to może otrzymać 1 punkt za III etap.

7. Jeżeli zdający bada inną funkcję zmiennej a niż postaci , gdzie k ≠ 0 , to nie otrzymuje punktów za II i III etap rozwiązania.

8. Jeżeli z zapisu rozwiązania wynika, że zdający stosuje poprawny wzór na pochodną ilorazu funkcji i dalej popełnia błędy, ale otrzymana w rozwiązaniu pochodna ma dwa różne miejsca zerowe, to zdający może otrzymać w II etapie punkty za konsekwentną realizację części II.2) i II.3). Jeżeli z zapisu rozwiązania nie wynika, że zdający stosuje poprawny wzór na pochodną ilorazu funkcji i zdający popełnia błędy przy obliczaniu pochodnej, ale otrzymuje wzór na pochodną, w którym w liczniku jest wielomian stopnia 2, a w mianowniku a² , to może w II etapie otrzymać jedynie punkt za konsekwentną realizację części II.3.