Oznaczmy miary kątów trójkąta ABC odpowiednio przez 2α, 2β, 2γ , a punkt wspólny dwusiecznej d_A i odcinka KL przez P, dwusiecznej d_C i odcinka LM przez R oraz dwusiecznej d_B i odcinka MN przez Q.

Wówczas

stąd

Wtedy

zatem

i

oraz

zatem

Suma kątów LKN i LMN jest więc równa

To oznacza, że na czworokącie KNML można opisać okrąg.

Rozważmy trójkąt KLM.

Z definicji symetrii osiowej wynika, że dwusieczna d_A jest symetralną boku KL. Analogicznie dwusieczna d_C jest symetralną boku LM.

Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie – oznaczmy go przez O.

Czyli punkt wspólny dwusiecznych d_A i d_C (symetralnych boków trójkąta KLM) jest środkiem okręgu, którego promieniem jest w szczególności odcinek OL.

Podobnie rozważmy trójkąt LMN. Z definicji symetrii osiowej wynika, że dwusieczna d_C jest symetralną boku LM . Analogicznie dwusieczna d_B jest symetralną boku MN. Punkt wspólny tych dwusiecznych (symetralnych) jest tym samym punktem, o którym była mowa wyżej i jest oczywiście środkiem okręgu opisanego na trójkącie LMN. 

Zatem musi to być ten sam okrąg. Wszystkie wierzchołki czworokąta KNML leżą na tym okręgu.

To kończy dowód.

Oznaczmy przez O punkt przecięcia się dwusiecznych kątów trójkąta ABC, punkt wspólny dwusiecznej d_A i odcinka KL przez P, dwusiecznej d_C i odcinka LM przez R oraz dwusiecznej d_B i odcinka MN przez Q.

Z definicji symetrii osiowej i z treści zadania wynika, że |KP| = |LP| oraz KL ⊥ AO. 

Oznacza to, że trójkąty OPK i OPL są prostokątne, mają wspólną przyprostokątną OP oraz pozostałe przyprostokątne są równej długości. Są to więc trójkąty przystające (na mocy cechy bkb przystawania trójkątów).

Stąd wynika, że |OL| = |OK|. Analogicznie trójkąty ORL i ORM są przystające oraz trójkąty OQM i OQN są przystające, a w konsekwencji |OL| = |OM| oraz |OM| = |ON|. 

Zatem punkt O jest więc równooddalony od wszystkich wierzchołków czworokąta KNML, a to oznacza, że na tym czworokącie można opisać okrąg.

Zdający

• wyznaczy miarę jednego z kątów czworokąta KNML w zależności od miar kątów trójkąta ABC, np.:

albo

• zapisze, że prosta zawierająca dwusieczną kąta trójkąta ABC jest symetralną jednego z odcinków KL, LM, MN

albo

• zapisze jedną lub dwie równości spośród:

i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.

Zdający

• wyznaczy miary dwóch przeciwległych kątów czworokąta KNML w zależności od miar kątów trójkąta ABC, np.:

albo

• zapisze, że punkt przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta ABC jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie KLM lub na trójkącie LMN, lub że jest punktem przecięcia symetralnych trzech boków czworokąta KNML

albo

• zapisze i uzasadni jedną lub dwie równości spośród:

Jeżeli zdający zapisze wszystkie równości

 

i stąd wyciągnie wniosek, że punkt O jest środkiem okręgu opisanego na czworokącie KNML, ale nie uzasadni żadnej z tych równości (lub uzasadnienie nie będzie pełne), to otrzymuje 2 punkty.

Zdający przeprowadzi pełne rozumowanie.

1. Jeżeli zdający przeprowadza dowód z wykorzystaniem bilansu kątów i korzysta z równości kątów w trójkątach równoramiennych, to może otrzymać 3 punkty także w przypadku, gdy bez stosownego komentarza korzysta z faktu, że trójkąty są równoramienne.

2. Jeżeli zdający

• uzależni wszystkie kąty trójkąta ABC oraz jeden z kątów czworokąta KNML

albo

• uzależni jeden z kątów LKN, KNM i jeden z kątów KLM, NML od kątów

 i 

to otrzymuje 1 punkt.

3. Jeżeli zdający

• wyznaczy 2 przeciwległe kąty czworokąta KNML w zależności od α, β, γ i wykaże, że α + β + γ = 180º

albo

• wyznaczy wszystkie kąty czworokąta KNML i obliczy sumę dwóch przeciwległych kątów czworokąta KNML, to otrzymuje 2 punkty.