Przykładowe rozwiązania

Zdarzeniem elementarnym jest uporządkowana para (x,y), gdzie x∈A i y∈B . Zatem zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych ma postać: 

Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa |Ω| = 7 ⋅ 7 = 49.

Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez 3. Z cechy podzielności liczby całkowitej przez 3 wynika, że suma cyfr otrzymanej liczby x + y musi być podzielna przez 3. Zbiór A ma postać:

Zdarzeniu |A| sprzyja więc 16 zdarzeń elementarnych, czyli A = 16.

Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie liczbą podzielną przez 3, jest równe 16/49.

Uwaga
Zdający może zapisać zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych jako zbiór sum możliwych do utworzenia w wyniku losowania, tzn. może zastosować zapis:

Wtedy zbiór

A = {111, 114, 210, 213, 216, 312, 315, 411, 414,510, 513, 516, 612, 615, 711, 714}.

Rysujemy tabelę, która przedstawia model rozważanego doświadczenia.

Zdarzeniom elementarnym odpowiadają komórki tej tabeli. Jest ich 49, zatem |Ω| = 49.

Symbolem X zaznaczamy te zdarzenia elementarne, które sprzyjają zdarzeniu A, polegającemu na tym, że suma wylosowanych liczb jest podzielna przez 3.

Zdarzeniu A sprzyja więc 16 zdarzeń elementarnych, czyli |A| = 16 .

Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie liczbą podzielną przez 3, jest równe 16/49.

Rysujemy drzewko rozważanego doświadczenia.

Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie liczbą podzielną przez 3, jest równe 16/49.

Zdający może narysować drzewo probabilistyczne, w którym na każdym z etapów lub na jednym z etapów rozważa każdą możliwą do wylosowania liczbę oddzielnie. Przykład takiego drzewa znajduje się poniżej.

Prawdopodobieństwo zdarzenia A może być obliczone w następujący sposób:

Zdający

• zapisze, że |Ω| = 7 ⋅ 7

albo

• zapisze, że suma cyfr utworzonej sumy wylosowanych liczb musi być podzielna przez 3,

albo

• poda sposób obliczania |A|, np. przyjmie porządek przy wyznaczaniu sum podzielnych przez 3 oraz wyznaczy przynajmniej 4 zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A i nie zaliczy do zbioru A niewłaściwego zdarzenia elementarnego,

albo

• przedstawi graficznie model doświadczenia z 49 zdarzeniami elementarnymi, np. narysuje tabelę z 7 kolumnami i 7 wierszami,

albo

• narysuje drzewko doświadczenia:

1. składające się ze wszystkich 49 gałęzi

albo

2. składające się z mniej niż 49 gałęzi, ale wskaże na nim gałęzie odpowiadające wylosowaniu w pierwszym etapie dwóch spośród 7 liczb: 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700 oraz wylosowaniu w drugim etapie odpowiednich liczb dających z liczbą wylosowaną w pierwszym etapie sumę podzielną przez 3

i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.

Zdający

• zapisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A

albo

• zapisze, że |Ω| = 7 ⋅ 7 i zapisze, że suma cyfr utworzonej sumy wylosowanych liczb musi być podzielna przez 3,

albo

• zapisze, że |Ω| = 7 ⋅ 7 i poda sposób obliczania |A| , np. przyjmie porządek przy wyznaczaniu sum podzielnych przez 3, wyznaczy przynajmniej 4 zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A, ale nie zaliczy do zbioru A niewłaściwego zdarzenia elementarnego,

albo

• przedstawi graficznie model doświadczenia z 49 zdarzeniami elementarnymi, np. narysuje tabelę z 7 kolumnami i 7 wierszami oraz zapisze, że |Ω| = 7 ⋅ 7 ,

albo

• narysuje drzewko doświadczenia:

1. składające się ze wszystkich 49 gałęzi i zapisze prawdopodobieństwa na co najmniej jednym odcinku każdego z etapów

albo

2. składające się z mniej niż 49 gałęzi, ale wskaże na nim gałęzie odpowiadające wylosowaniu w pierwszym etapie dwóch spośród 7 liczb: 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700 oraz wylosowaniu w drugim etapie odpowiednich liczb dających z liczbą wylosowaną w pierwszym etapie sumę podzielną przez 3 i zapisze prawdopodobieństwa na co najmniej jednym odcinku każdego z etapów;

albo

• narysuje drzewko doświadczenia, w którym wskaże wszystkie gałęzie odpowiadające zdarzeniu A

i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.

Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.

Zdający

• zapisze, że |Ω| = 7 ⋅ 7 oraz zapisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A, ale nie zaliczy do zbioru A niewłaściwego zdarzenia elementarnego

albo

• zapisze, że |Ω| = 7 ⋅ 7 oraz zapisze, że |A| = 16 i przedstawi sposób obliczenia tej liczby, np. zapisze, że suma cyfr utworzonej sumy wylosowanych liczb musi być podzielna przez 3 i wskaże w dowolny sposób przykładowe zdarzenie elementarne lub przyjmie porządek przy wyznaczaniu sum podzielnych przez 3 i wyznaczy przynajmniej 4 zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A, ale nie zaliczy do zbioru A niewłaściwego zdarzenia elementarnego,

albo

• przedstawi graficznie model doświadczenia z 49 zdarzeniami elementarnymi (np. narysuje tabelę z 7 kolumnami i 7 wierszami), zapisze |Ω| = 7 ⋅ 7 , oraz zaznaczy 16 zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A i żadnych innych zdarzeń elementarnych nie zaliczy do A,

albo

• narysuje drzewko doświadczenia, w którym wystąpią wszystkie gałęzie odpowiadające zdarzeniu A wraz z prawdopodobieństwami oraz poprawnie zastosuje regułę drzewka do obliczenia prawdopodobieństwa P (A)

i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.

Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: