Odpowiedź:

Przykładowe rozwiązania

I sposób

Oznaczamy przez q iloraz ciągu (an).
Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego i zapisujemy równość

6a1 – 5a1 · q + a1 · q2 = 0 ,

Wyłączamy wspólny czynnik a1 poza nawias 

a(6 – 5·q+q2) = 0.

Ponieważ wyrazy ciągu są dodatnie, więc a1 ≠ 0. Korzystamy z własności iloczynu równego zero i otrzymujemy równanie

q2 – 5q + 6 = 0.

To równanie ma dwa rozwiązania q = 2 lub q = 3. 

Ponieważ q∈ ⟨2√2,3√2⟩ ,
więc q = 3.

II sposób

Niech q oznacza iloraz ciągu geometrycznego (an) oraz niech 

a1 = a, a2 = b, a3 = c.

Zatem równość
6a1 – 5a2 + a3 = 0
zapisujemy w postaci:
6a – 5b + c = 0.
Stąd c = 5b –6a

Ponieważ wszystkie wyrazy ciągu (a, b, c) są dodatnie, więc ciąg ten jest

geometryczny, gdy spełniona jest równość
b2 = ac .

Podstawiamy do równania
b2 = ac za c i otrzymujemy:

b2 = a(5b – 6a),

b2 – 5ab + 6a2 = 0 .

Rozwiązujemy to równanie przyjmując za niewiadomą, np. b. 

Wtedy Δ = a2,  √Δ = a , ponieważ a > 0.

Zatem rozwiązaniami równania są

Obliczamy iloraz q ciągu

Ponieważ q∈ ⟨2√2,3√2⟩ , więc iloraz ciągu (an) jest równy: q = 3 .

schemat punktacji
Zasady oceniania I sposobu rozwiązania

Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania 1 p.
Zdający wykorzysta wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego i zapisze
a2 = a1 · q oraz a3 = a1 · q
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.

Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający zapisze równość 6a1 - 5a2 + a3 = 0 w postaci
6a1 - 5a1 · q + a1 · q2 = 0 lub a1 (q2 - 5q + 6) = 0
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.

Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający rozwiąże równanie q2 - 5q + 6 = 0: q = 2 lub q = 3. i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.

Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający zapisze iloraz q ciągu geometrycznego (an) należący do przedziału ⟨2√2,3√2⟩: q=3.

Zasady oceniania II sposobu rozwiązania

Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania 1 p.
Zdający przy oznaczeniach aŁ = a, a2 = b, a3 = c wykorzysta własność ciągu geometrycznego i zapisze równość b2 = ac i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.

Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający zapisze równość b2 = ac i z równości 6a - 5b+c = 0 wyznaczy jedną niewiadomą w zależności od dwóch pozostałych, np.: c = 5b - 6a i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.

Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający rozwiąże równanie b2 - 5ab + 6a2 = 0 z niewiadomą, np. b:
b1 = 2a lub b2 = 3a i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.

Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający poda iloraz q ciągu geometrycznego (an): q = 3.

Uwagi do I i II sposobu oceniania
1. Jeżeli zdający zapisze równanie 6a1 - 5a1 · q + a1q2 = 0 i przyjmie jako pierwszy wyraz ciągu konkretną liczbę dodatnią, pisząc, np. że wartość pierwszego wyrazu nie ma wpływu na iloraz ciągu, a następnie rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, to otrzymuje 4 punkty.
2. Jeżeli zdający rozwiąże równanie kwadratowe z błędem i otrzyma co najmniej jedno rozwiązanie i konsekwentnie poda odpowiedź, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 3 punkty.
3. Jeżeli zdający zapisze równanie 6a1 - 5a1 · q + a1q2 = 0 i przyjmie jako pierwszy wyraz ciągu konkretną liczbę dodatnią i rozwiąże otrzymane równanie kwadratowe z niewiadomą q oraz zapisze wnioski, konsekwentne do otrzymanych rozwiązań, dotyczące należenia bądź nie tych rozwiązań do przedziału ⟨2√2,3√2⟩ , to otrzymuje 3 punkty.
4. Jeżeli zdający zapisze równanie 6a1 - 5a1 · q + a1q2 = 0 i przyjmie jako pierwszy wyraz ciągu konkretną liczbę dodatnią, a następnie poda q = 3 i zapisze, że ten iloraz należy do przedziału ⟨2√2,3√2⟩, to otrzymuje 3 punkty.
5. Jeżeli zdający zapisze równanie 6a1 -5a1 · q + a1q2 = 0 i przyjmie jako pierwszy wyraz ciągu konkretną liczbę dodatnią, a następnie poda q = 2 i zapisze, że ten iloraz nie należy do przedziału ⟨2√2,3√2⟩, to otrzymuje 3 punkty.
6. Jeżeli zdający rozwiązuje równanie kwadratowe przy ujemnym wyróżniku, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 2 punkty.
7. Jeżeli zdający zapisze konkretny ciąg o wyrazach dodatnich i ilorazie q = 3, np. (1,3,9,...) oraz sprawdzi, że pierwszy, drugi i trzeci wyraz tego ciągu spełniają
warunek 6a1 - 5a2 + a3 = 0 i zapisze, że ten iloraz należy do przedziału ⟨2√2,3√2⟩ i na
tym zakończy, to otrzymuje 2 punkty.
8. Jeżeli zdający zapisze dwa konkretne ciągi o wyrazach dodatnich; jeden o ilorazie q = 2, np. (1,2,4,...) , drugi o ilorazie q = 3, np. (1,3,9,...) oraz sprawdzi, że pierwszy, drugi i trzeci wyraz każdego z tych ciągów spełniają warunek 6a1 - 5a2 + a3 = 0 i zapisze, że
iloraz q = 2 nie należy do przedziału ⟨2√2,3√2⟩, a iloraz q = 3 należy do przedziału
⟨2√2,3√2⟩ i na tym zakończy, to otrzymuje 2 punkty.
9. Jeżeli zdający poda q = 3 i zapisze, że ten iloraz należy do przedziału ⟨2√2,3√2⟩ i na tym zakończy, to otrzymuje 1 punkt.
10. Jeżeli zdający zapisze konkretny ciąg o wyrazach dodatnich i ilorazie q = 3 oraz sprawdzi, że ten iloraz należy do przedziału ⟨2√2,3√2⟩ i na tym zakończy, to otrzymuje 1 punkt.
11. Jeżeli zdający zapisze konkretny ciąg o wyrazach dodatnich i ilorazie q = 3, np. (1,3,9,...) oraz sprawdzi, że pierwszy, drugi i trzeci wyraz tego ciągu spełniają warunek 6a1 - 5a2 + a3 = 0 i na tym zakończy, to otrzymuje 1 punkt.
12. Jeżeli zdający zapisze konkretny ciąg o wyrazach dodatnich i ilorazie q = 2, np. (1,2,4,...) oraz sprawdzi, że pierwszy, drugi i trzeci wyraz tego ciągu spełniają warunek 6a1 - 5a2 + a3 = 0 i zapisze, że ten iloraz nie należy do przedziału ⟨2√2,3√2⟩ i na tym zakończy, to otrzymuje 1 punkt.
13. Jeżeli zdający poda q = 2 i zapisze, że ten iloraz nie należy do przedziału ⟨2√2,3√2⟩ i na tym zakończy, to otrzymuje 0 punktów.
14. Jeżeli zdający myli własność ciągu geometrycznego z własnością ciągu arytmetycznego, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.
15. Jeżeli zdający poda jedynie q = 3 i na tym zakończy, to otrzymuje 0 punktów.
Powrót do pytań