Odpowiedź:
Przykładowe rozwiązania

I sposób

Prosta AC jest prostopadła do prostej o równaniu 
y = 4⁄3 x , 
więc współczynnik kierunkowy prostej AC jest równy 
aAC = – 3⁄4. 

Prosta AC przechodzi przez punkt 
A = (5,−5⁄3) , 
więc jej równanie ma postać

Obliczamy współrzędne punktu O przecięcia się prostych AC i BD, rozwiązując układ równań


Rozwiązaniem tego układu jest para liczb 
x = 1 i y = 4⁄3.
Stąd O = (1,4⁄3).
Punkt O jest środkiem przekątnej AC, więc




Przekątna kwadratu ma długość a√2 , gdzie a jest długością boku kwadratu.
Stąd a√2 = 10 , czyli a = 5√2 .

Zatem pole kwadratu ABCD jest równe
a2 = (5√2)2 = 50.

Uwaga
Pole kwadratu ABCD możemy obliczyć, wykorzystując długość przekątnej kwadratu (lub jej połowy). Wtedy
PABCD = ½ · |AC|2 = ½ · 102 = 50.

II sposób

Długość przekątnej kwadratu ABCD (lub jej połowy) możemy obliczyć, korzystając ze wzoru na odległość d punktu A od danej prostej. Wtedy


Zatem pole kwadratu ABCD jest równe
PABCD = 2 ⋅ d2 = 2 ⋅ 52 = 50 .

Punkt O = (xo,yo) leży na prostej o równaniu 
y = 4⁄3 x , 
więc O = (xo,4⁄3 xo) 
a skoro odległość d jest równa 5, to 
|AO|2 = 25 , czyli


Stąd xo = 1 , 
więc 
O = (1, 4⁄3 ⋅ 1) = (1,4⁄3).

III sposób (odległość jako funkcja jednej zmiennej)

Niech punkt P = (x, 4⁄3 x) będzie dowolnym punktem leżącym na prostej o równaniu 
y = 4⁄3.  

Zapiszemy odległość punktu P od danego punktu 
A = (5, –5⁄3)
jako funkcję jednej zmiennej.

Obliczamy kolejno:




Zatem


dla każdej liczby rzeczywistej x.

Zauważamy, że trójmian kwadratowy 
y = (x − 1)2 + 9 
przyjmuje najmniejszą wartość dla x = 1 .

Ponieważ funkcja ƒ określona wzorem 
ƒ(t) = √t  jest rosnąca, 
więc dla x = 1 także i odległość |AP| jest najmniejsza. 

Oznacza to, że odcinek AP, którego długość jest równa 5 , jest zawarty w przekątnej AC kwadratu ABCD. Zatem przekątna tego kwadratu ma długość 10 oraz pole tego kwadratu jest równe
½ · 102 = 50. 

Ponadto jeśli x = 1 , to punkt P ma współrzędne (1,4⁄3) i jest szukanym punktem przecięcia przekątnych AC i BD kwadratu ABCD.

IV sposób (kąt między prostymi)

Każda z prostych AB i AD zawierających boki kwadratu ABCD tworzą z prostą BD o równaniu 
y = 4⁄3, kąt 45° . 

Każda z nich przechodzi przez punkt (5, –5⁄3) , więc ma równanie postaci
y + 5⁄3 = a(x − 5) .

Ze wzoru na tangens kąta między prostymi otrzymujemy:


Zatem równania prostych AB i AD mają postać


Stąd otrzymujemy równania


Zatem


Punkt O przecięcia przekątnych kwadratu ma zatem współrzędne


Pole kwadratu ABCD jest równe



schemat punktacji
Zasady oceniania I, II, III i IV sposobu rozwiązania

Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1 p.
Zdający
• wyznaczy równanie prostej AC: 
albo
• obliczy odległość punktu A od prostej BD: 5
albo
• zapisze współrzędne punktu P leżącego na prostej o równaniu y = 4⁄3 x, np. P = (x, 4⁄3 x) i wyznaczy odległość punktu P od danego punktu A jako funkcję jednej zmiennej
albo
wyznaczy równania prostych AB i AD: 
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.


Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający
• wyznaczy równanie prostej AC:
i obliczy współrzędne punktu przecięcia przekątnych kwadratu: O=(1,4⁄3)
albo
• obliczy odległość punktu A od prostej BD: 5 i obliczy pole kwadratu: 50
albo
• obliczy odległość punktu A od prostej BD: 5 i zapisze równanie
albo
• obliczy x, dla którego odległość AP jest najmniejsza: x = 1
albo
• wyznaczy równania prostych AB i AD oraz obliczy współrzędne wierzchołków B i D:
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.


Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający
• obliczy współrzędne punktu przecięcia przekątnych kwadratu: O=(1,4⁄3) i długość przekątnej kwadratu (lub połowę tej długości): 10
albo
• obliczy pole kwadratu: 50 i zapisze równanie 
albo
• obliczy x, dla którego odległość AP jest najmniejsza: x = 1 i obliczy współrzędne punktu przecięcia przekątnych kwadratu: O=(1,4⁄3)
albo
• obliczy x, dla którego odległość AP jest najmniejsza: x = 1 i długość przekątnej kwadratu: 10
albo
obliczy współrzędne punktu przecięcia przekątnych kwadratu: O=(1,4⁄3) i długość boku kwadratu: √50
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.

Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający obliczy pole kwadratu: 50 oraz współrzędne punktu przecięcia przekątnych kwadratu: O=(1,4⁄3) 

Uwagi

1. Jeśli zdający popełni błędy rachunkowe, które nie przekreślają poprawności rozumowania i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać za całe rozwiązanie co najwyżej 3 punkty.

2. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:

a) błąd przy ustalaniu współczynnika kierunkowego prostej AC, to zdający może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie;

b) błąd polegający na zamianie miejscami współrzędnych punktu, np. przy podstawieniu do wzoru na odległość punktu od prostej, przy podstawieniu do wzoru na długość odcinka, przy obliczaniu współczynnika b w równaniu kierunkowym prostej AC, to zdający może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie;

c) błąd polegający na zastosowaniu niepoprawnego wzoru 

, to zdający może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.

3. Jeśli zdający zaznaczy w układzie współrzędnych punkt A i narysuje np. dwie proste, w których zawierają się przekątne kwadratu, a następnie odczyta i zapisze współrzędne punktu przecięcia się tych prostych i na tym zakończy, to otrzymuje 0 punktów.


Powrót do pytań