Przykładowe rozwiązania
I sposób
Obliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych tego doświadczenia
|Q| = 62 = 36
lub opisujemy zbiór zdarzeń elementarnych np. w postaci tabeli
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) |
2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) |
3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) |
4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) |
5 | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5,5) | (5,6) |
6 | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,5) | (6,6) |
Wskazujemy elementy zbioru A i zliczamy je:
|A|=11
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A. Ponieważ wszystkie zdarzenia jednoelementowe są jednakowo prawdopodobne, więc korzystamy z klasycznej definicji prawdopodobieństwa:
II sposób
Obliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:
|Q| = 62 = 36.
A - zdarzenie polegające na tym, że co najmniej jeden raz wypadnie ścianka z pięcioma oczkami.
A' - zdarzenie polegające na tym, że ani razu nie wypadnie ścianka z pięcioma oczkami. Wskazujemy elementy zbioru A' (wypisujemy lub zaznaczamy w tabeli) i zliczamy je:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) |
2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) |
3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) |
4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | (4,4) | (4,5) | (4,6) |
5 | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5,5) | (5,6) |
6 | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,5) | (6,6) |
|A'| = 52 = 25
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:
III sposób (metoda drzewka)
Przedstawiamy model graficzny doświadczenia.
5 - oznacza wypadnięcie ścianki kostki z pięcioma oczkami,
z - oznacza wypadnięcie innej ścianki niż z pięcioma oczkami.
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy
• zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych |Ω| = 62 = 36 lub opisze zbiór zdarzeń elementarnych za pomocą tabeli
albo
• wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A:
A = {(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (5,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (6,5)}
lub zaznaczy je wszystkie w tabeli lub zaznaczy wszystkie istotne gałęzie na pełnym drzewie składającym się z 36 gałęzi,
albo
• obliczy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A, np.: |A| = 2·6–1 = 11, |A| = 5 + 5 +1 = 11 i nie wskaże przy tym niepoprawnych zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A,
albo
• zapisze prawdopodobieństwa potrzebne do wyznaczenia końcowego wyniku na dwóch etapach (przy stosowaniu metody drzewa probabilistycznego składającego się z czterech gałęzi) oraz wskaże wszystkie istotne gałęzie (dla zdarzenia A lub zdarzenia A')
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A:
Uwagi
1. Jeżeli zdający zapisze tylko: |A| = 11, |Ω| = 36, P(A) =11⁄36, lub zapisze tylko: P(A) =11⁄36, lub 11⁄36, to otrzymuje 2 punkty.
2. Jeżeli zdający zapisze prawdopodobieństwo
to otrzymuje 2 punkty.
3. Jeżeli zdający zapisze tylko |A| = 11, to otrzymuje 1 punkt.
4. Jeżeli zdający popełni błąd przy wypisywaniu zdarzeń elementarnych i wypisze o jedno za mało lub jedno powtórzy, ale nie wypisze żadnego niewłaściwego i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy prawdopodobieństwo, to otrzymuje 1 punkt.
5. Jeżeli zdający stosuje drzewo probabilistyczne o 36 gałęziach, w którym przynajmniej 7 gałęzi odpowiada sytuacjom sprzyjającym rozważanemu zdarzeniu A (lub przynajmniej 13, gdy rozpatruje zdarzenie A'), ale nie wskaże gałęzi niewłaściwej, i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy prawdopodobieństwo, to otrzymuje 1 punkt.
6. Jeżeli zdający narysuje tylko drzewko i nie zaznaczy oraz nie opisze żadnej gałęzi, to otrzymuje 0 punków.
7. Jeżeli zdający zapisze tylko liczby 36 lub 11 lub 25 i z rozwiązania zadania nie wynika znaczenie tych liczb, to otrzymuje 0 punktów.
8. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma P(A) > 1 lub P(A) < 0, to otrzymuje za całe rozwiązanie 0 punktów, o ile końcowy wynik nie jest skutkiem błędu w działaniach na ułamkach.