Odpowiedź:
Przykładowe rozwiązania

I sposób


Niech |BC| = a. Wtedy

Ponieważ |CE| = 3|CD| , to

Zatem

To kończy dowód.

II sposób


Trójkąt BCD jest trójkątem prostokątnym o kątach ostrych 30 ° i 60 °.
Niech |BC| = y .
Wtedy
Trójkąt CEF jest połową trójkąta równobocznego. Niech |CF| = x.
Stąd

Ponieważ |CE| = 3|CD| , to


To kończy dowód.

III sposób

Niech x = |BD| . Trójkąt BCD jest trójkątem prostokątnym o kątach ostrych 30 ° i 60 ° , więc
|BC| = 2x
oraz
|CD| = x√3

Ponieważ |CE| = 3|CD| , więc
|CE| = 3x√3
Trójkąt CEF jest połową trójkąta równobocznego, więc


To kończy dowód.

IV sposób


Trójkąty BCD i ECF są podobne na podstawie cechy (kąt, kąt, kąt). Przyjmijmy następujące oznaczenie:
|BC| = a , wtedy


Skalę podobieństwa można obliczyć w następujący sposób:


To kończy dowód.
schemat punktacji

Zdający otrzymuje 1 p.

gdy

• wyznaczy długości odcinków BC i CF w zależności od tej samej zmiennej, np.: |BC| = a

albo

wyznaczy skalę podobieństwa trójkątów BCD i CEF: 

albo

• wyznaczy długość odcinka CF w zależności od długości odcinków CB i CD oraz zależność między długościami odcinków CD i CB, np.:

i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.


Zdający otrzymuje 2 p.

gdy zapisze pełne rozumowanie.

Uwaga
Ponieważ podobieństwo zachowuje stosunek długości odcinków, więc jeżeli zdający przyjmuje konkretną wartość długości boku trójkąta i przeprowadzi rozumowanie do końca, ale nie odwołuje się do tej własności, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt.

Powrót do pytań