Odpowiedź:

Przykładowe rozwiązanie

Pierwszy etap to wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego:
2x2 + 3x – 5.

Drugi etap to zapisanie zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej.

Pierwszy etap rozwiązania może być realizowany następująco:

I sposób

Przekształcamy równoważnie nierówność do postaci
(2x + 5)(x – 1) > 0
(przenosimy wszystkie wyrażenia na lewą stronę nierówności i wyłączamy wspólny czynnik poza nawias),

a następnie zapisujemy pierwiastki trójmianu
(2x + 5)(x – 1):
x1 = – 5⁄2 oraz x2 = 1.

II sposób

Zapisujemy nierówność w postaci
2x2 + 3x – 5 > 0
i obliczamy pierwiastki trójmianu
2x2 + 3x – 5

• obliczamy wyróżnik tego trójmianu:
Δ = 49
i stąd
x1 = 5⁄2 oraz x2 = 1

albo

• stosujemy wzory Viete’a:

x1 · x2 = – 5⁄2  
oraz
x1 + x2 = – 3⁄2 , 

stąd
x1 = – 5⁄2  oraz x2 = 1

albo

podajemy je bezpośrednio, np. zapisując pierwiastki trójmianu lub postać iloczynową trójmianu, lub zaznaczając je na wykresie (wystarczy szkic wykresu, oś liczbowa itp.):

x1 = – 5⁄2  oraz x2 = 1

lub

2(x +  5⁄2)(x –1).

Drugi etap rozwiązania:

Zapisujemy zbiór rozwiązań nierówności:

(–∞,– 5⁄2)∪(1,+∞)

lub

x∈(–∞,– 5⁄2)∪(1,+∞).

III sposób

Wykonujemy rysunek pomocniczy. W jednym układzie współrzędnych szkicujemy fragment wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem
y = 2(x – 1) (x + 3)
oraz fragment wykresu funkcji liniowej określonej wzorem
y = x – 1.

Odczytujemy odcięte punktów wspólnych obu wykresów. 

Są to liczby
x1 = – 5⁄2 oraz x2 = 1. 

Sprawdzamy, czy odczytane współrzędne są odciętymi punktów wspólnych tych wykresów

2(– 5⁄2 – 1)(– 5⁄2 + 3) = 2 · (– 7⁄2)(½) = – 7⁄2

– 5⁄2 – 1 = – 7⁄2

Stąd liczba (– 5⁄2) jest odciętą punktu wspólnego obu wykresów, a liczba 1 jest wspólnym miejscem zerowym obu funkcji 
y = 2(x – 1)(x + 3)
oraz
 y = x – 1

Z naszkicowanego wykresu odczytujemy te argumenty, dla których funkcja kwadratowa przyjmuje wartości większe niż funkcja liniowa
x∈(–∞,– 5⁄2)∪(1,+∞). 

Zatem zbiór ten jest zbiorem rozwiązań nierówności
2(x – 1)(x + 3) > x – 1.

schemat punktacji
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
• zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym zakończy lub zapisze błędny zbiór rozwiązań nierówności, np.
• obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego
x1 = – 5⁄2  oraz x2 = 1
• zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji ƒ określonej wzorem
ƒ(x) = 2x2 + 3x – 5.
• rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, 
np. 2(x +  5⁄2)(x –1)

albo

• realizując pierwszy etap rozwiązania zadania popełnia błędy (ale otrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do tego zapisze zbiór rozwiązań nierówności, np.

■ popełnia błędy rachunkowe przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór rozwiązań nierówności,

■ błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viete’a, np.: x1 · x2 = 5⁄2 i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór rozwiązań nierówności,

albo

• wyznaczy odcięte punktów wspólnych wykresów funkcji określonych wzorami

y = 2(x − 1)(x + 3)  oraz y = (x – 1) : x1 = – 5⁄2 oraz x2 = 1 i i na tym zakończy lub zapisze błędny zbiór rozwiązań nierówności.


Zdający otrzymuje 2 p.

gdy: 

• poda zbiór rozwiązań nierówności:

(–∞,– 5⁄2)∪(1,+∞)

lub

x∈(–∞,– 5⁄2)∪(1,+∞)

lub

(x < – 5⁄2 lub x > 1),

albo

• sporządzi ilustrację graficzną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci: 

x < – 5⁄2 , x > 1

albo

• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów.

Uwagi

1. Akceptujemy zapisanie odpowiedzi w postaci: x < – 5⁄2 i x > 1, x < – 5⁄2 oraz x > 1.

2. Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez x – 1, rozważając dwa przypadki x – 1 > 0 oraz x – 1 < 0, rozwiąże nierówność w każdym z tych przypadków i poda zbiór rozwiązań każdej z tych nierówności, to otrzymuje 2 punkty.

3. Jeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu x1 = – 5⁄2 , x2 = 1 i zapisze, np. (–∞,– 5⁄2)∪(–1,+∞) , popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków, to otrzymuje 2 punkty.

4. Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże nierówność 2(x – 1)(x + 3)>x – 1, ale zapisze

sprzeczną z tym rozwiązaniem odpowiedź, np. x ∉ R \ {– 5⁄2,1}, albo x ≠ –5⁄2 i x≠1 to otrzymuje 2 punkty.

5. Jeżeli zdający rozwiązuje zadanie sposobem III i nie sprawdzi algebraicznie, że odczytane liczby x1 = – 5⁄2 oraz x2 = 1 są odciętymi punktów wspólnych wykresów funkcji

y = 2(x – 1)(x + 3) oraz y = x – 1, to otrzymuje 2 punkty.

6. Jeżeli zdający pominie 2 w nierówności 2(x – 1)(x + 3) > x – 1 i rozwiąże nierówność

(x – 1)(x + 3) > x – 1, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.

7. Jeżeli zdający rozwiązuje zadanie sposobem III i błędnie odczyta którąkolwiek z odciętych punktów wspólnych wykresów funkcji y = 2(x – 1)(x + 3) oraz y = x – 1, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie, pod warunkiem, że otrzyma sumę dwóch rozłącznych przedziałów otwartych.

8. Jeżeli zdający podaje pierwiastki bez związku z trójmianem kwadratowym z zadania, to oznacza, że nie podjął realizacji pierwszego etapu rozwiązania i w konsekwencji otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

9. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy obliczony wyróżnik Δ jest niedodatni, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

10. Jeżeli zdający rozwiąże nierówność 2(x – 1)(x + 3) > 0, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

11. Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez x – 1 bez stosownego założenia, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

Powrót do pytań