Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku: 

a – krawędź podstawy, 

h – wysokość graniastosłupa.

Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy a i wysokości h wyraża się wzorem:

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy a i wysokości h jest równe:

Z geometrycznych warunków zadania wynika, że a ∈ (0; + ∞ ).

Zapiszmy pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jako funkcję ƒ zmiennej a:

dla a ∈ (0; + ∞ ).

Wyznaczamy wartość najmniejszą funkcji ƒ w przedziale (0; + ∞ ).
W tym celu obliczmy pochodną funkcji ƒ:

Szukamy miejsc zerowych pochodnej funkcji ƒ:

Ustalamy, że a = 2.
W przedziale (0; + ∞ ) pochodna funkcji ƒ ma tylko jedno miejsce zerowe a = 2.

Ponadto

ƒ′(a) > 0 dla a ∈ (2; + ∞) oraz 

ƒ′ (a) < 0 dla a ∈ (0; 2).

Wynika stąd, że dla a = 2 funkcja ƒ ma minimum lokalne, które jest jednocześnie najmniejszą wartością funkcji ƒ w przedziale (0,+∞), ponieważ funkcja ƒ w przedziale ⟨2,+∞) jest  rosnąca, a w przedziale (0,2⟩ funkcja ƒ jest malejąca.

Natomiast pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jest równe:

Odp.: Najmniejsze pole powierzchni całkowitej równe 6√3 ma graniastosłup prawidłowy trójkątny o wymiarach: krawędź podstawy a = 2 i wysokość

Rozwiązanie składa się z trzech etapów.

Pierwszy etap składa się z trzech części:
• oznaczenia krawędzi podstawy i wysokości graniastosłupa, np. odpowiednio przez a i h , oraz wyznaczenia wysokości graniastosłupa h w zależności od zmiennej a :

• zapisania pola powierzchni całkowitej graniastosłupa jako funkcji jednej zmiennej:

• wyznaczenia dziedziny funkcji ƒ: (0; +∞).

Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 3 punkty .

I. 1. Za drugą część tego etapu zdający może otrzymać punkt w dwóch przypadkach:

– pierwszą część wykona bezbłędnie

albo

– błędnie wyznaczy h w zależności od a , ale otrzyma wartość h=k⋅a⁻² , gdzie k jest liczbą niewymierną.

I. 2. Punkt za część trzecią (wyznaczenie dziedziny funkcji) zdający otrzymuje niezależnie od realizacji dwóch pierwszych części tego etapu, pod warunkiem, że rozważa wyznaczoną przez siebie funkcję jednej zmiennej.

Drugi etap składa się z trzech części:

• wyznaczenia wzoru pochodnej funkcji ƒ:

• obliczenia miejsca zerowego pochodnej funkcji ƒ: a = 2.

• zbadania znaku pochodnej funkcji ƒ: ƒ′(a)>0 dla a ∈ (2; + ∞ ) , ƒ′(a)<0 dla a ∈ (0; 2) i uzasadnienia, że dla a = 2 funkcja ƒ osiąga wartość najmniejszą.

Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 3 punkty .

II. 1. Jeżeli zdający wyznaczy pochodną funkcji z błędem, ale wyznaczona pochodna ma postać:

gdzie A , B są liczbami niewymiernymi, lub postać ułamka, w którego liczniku jest wielomian stopnia trzeciego, a w mianowniku ma² , to zdający może otrzymać punkty za część 2. i 3. tego etapu, o ile konsekwentnie obliczy miejsca zerowe pochodnej lub uzasadni istnienie najmniejszej wartości rozważanej funkcji.

II. 2. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak.

II. 3. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja posiada wartość najmniejszą dla wyznaczonej wartości a , przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuacje, gdy zdający:

– opisuje, słownie lub graficznie (np. przy użyciu strzałek), monotoniczność funkcji ƒ;

– zapisuje, że dla wyznaczonej wartości a funkcja f ma minimum lokalne i jest to jednocześnie jej najmniejsza wartość. Jeżeli zdający nie przedstawi takiego uzasadnienia, to za II etap może otrzymać co najwyżej 2 punkty .

II. 4. Jeżeli zdający błędnie wyznaczy dziedzinę funkcji, ale ta dziedzina jest podzbiorem przedziału (0,+∞), to może otrzymać punkt za 3. część II etapu, gdy miejsce zerowe pochodnej należy do wyznaczonej dziedziny.

Trzeci etap
Zapisanie, że krawędź podstawy i wysokość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o najmniejszym polu powierzchni całkowitej są równe odpowiednio

oraz obliczenie najmniejszego pola powierzchni całkowitej graniastosłupa 6√3 .

Za realizację tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt .

Jeżeli zdający pominie w rozważaniach jedną ze ścian graniastosłupa przy wyznaczaniu pola powierzchni figury, to może otrzymać 5 punktów, o ile konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca bez innych błędów.