Odpowiedź:
Przykładowe rozwiązanie

Rozwiązanie składa się z dwóch etapów.

Pierwszy etap

Wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x − 2 , więc 2 jest pierwiastkiem tego wielomianu. Zatem W(2) = 0. Stąd otrzymujemy
16 + 4m3 + 8 − 22 − 4m − 2 = 0,
4m3 − 4m = 0.

Przy dzieleniu wielomianu W(x) przez dwumian x + 1 otrzymujemy resztę 6, więc W (−1) = 6. Stąd otrzymujemy

− 2 + m3 + 2 + 11 − 4m − 2 = 6,
m3 − 4 m + 3 = 0.

Rozwiązujemy układ równań

I sposób

Z równania 4m3 − 4m = 0 otrzymujemy rozwiązania: 
m = 0 , m = − 1 , m = 1
Z tych trzech liczb tylko liczba 1 spełnia drugie równanie, zatem liczba 1 jest rozwiązaniem układu równań. 

II sposób

Z równania m3 − 4m + 3 = 0 otrzymujemy rozwiązania:
Z tych trzech liczb tylko liczba 1 spełnia pierwsze równanie, zatem liczba 1 jest rozwiązaniem układu równań.

III sposób

Przyrównując lewe strony obu równań


Sprawdzamy, czy liczba 1 spełnia jedno z równań:


Liczba m = 1 spełnia każde z równań układu, więc jest jedynym rozwiązaniem tego układu.

Drugi etap

Dla m = 1 nierówność W(x) ≤ 0 przyjmuje postać
2x3 + 3x2 − 11x − 6 ≤ 0.

Rozwiązujemy tę nierówność stosując przekształcenia równoważne i otrzymujemy kolejno:


Zbiorem rozwiązań nierówności jest

schemat punktacji
Rozwiązanie składa się z dwóch etapów:

Pierwszy etap polega na wyznaczeniu wartości parametru m , dla której spełnione są warunki określone w zadaniu. Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 4 punkty, przy czym otrzymuje:
4 punkty, gdy uzasadni, że jedyną wartością parametru m jest m=1,
3 punkty, gdy
• zapisze oba równania wynikające z treści zadania, np.:
i rozwiąże przynajmniej jedno z nich
lub
• rozwiąże równanie wynikające z tego układu, np.:
2 punkty, gdy
• zapisze oba równania wynikające z treści zadania, np.:
albo
• zapisze tylko jedno równanie wynikające z treści zadania i rozwiąże je np.:
skąd m = 0 , m = − 1 , m = 1 ,
1 punkt , gdy zapisze jedno z równań wynikających z treści zadania, np.:

Drugi etap polega na rozwiązaniu nierówności wielomianowej. Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 2 punkty , przy czym zdający otrzymuje 2 punkty gdy rozwiąże nierówność:


Zdający otrzymuje 1 punkt gdy wyznaczy
2x3 +3x2 − 11x − 6: x1 = − 3 , x2 = − 12 , x3 = 2 .

Uwagi

1. Jeżeli zdający po zapisaniu układu równań jedynie zapisze m = 1 , to otrzymuje 3 punkty za pierwszy etap rozwiązania, jeśli natomiast opatrzy to odpowiednim komentarzem, np.: „jedynym rozwiązaniem układu równań jest m = 1 ”, to otrzymuje 4 punkty .

2. Jeżeli zdający poprawnie interpretuje treść zadania W (2) = 0 i W (−1) = 6 ,ale popełnia błędy rachunkowe, zapisując równania wynikające z tych warunków, to za I etap może otrzymać co najwyżej 3 punkty , o ile popełnione błędy nie ułatwiają rozwiązania układu i układ nie jest sprzeczny.

3. Jeżeli zdający popełnia błędy w interpretacji treści zadania, zapisując np. W(−2) = 0 i W(1) = 6 , w konsekwencji których zapisuje błędne równania wynikające z tych warunków, to za I etap otrzymuje 0 punktów .

4. Jeżeli zdający w wyniku błędów otrzyma wielomian W(x) , który ma trzy różne pierwiastki, przy czy jednym z nich jest liczba 2, to może otrzymać 2 punkty za drugi etap, o ile konsekwentnie rozwiąże otrzymaną nierówność.

5. Jeżeli zdający w wyniku błędów rachunkowych otrzyma wielomian W(x) , który ma trzy różne pierwiastki, przy żadnym z nich nie jest liczba 2, to zdający może otrzymać 1 punkt za drugi etap, o ile konsekwentnie rozwiąże otrzymaną nierówność.

6. Jeżeli zdający w wyniku błędów rachunkowych otrzyma wielomian W (x) , który ma co najwyżej dwa pierwiastki (nie liczymy krotności pierwiastków), to otrzymuje 0 punktów za drugi etap.

7. Przy rozwiązaniu układu równań wynikającego z treści zadania metodą opisaną w III sposobie, jak poniżej, akceptujemy sytuację, w której zdający nie zapisze, że liczba m = 1 spełnia oba równania układu.

8. Jeżeli zdający w I etapie rozwiązania obiera III sposób, opisany poniżej, i popełnia jedynie błąd rachunkowy przy rozwiązywaniu układu równań, ale otrzymuje jedną wartość m, to może otrzymać co najwyżej 5 punktów za całe rozwiązanie, o ile konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca.
Powrót do pytań