Przykładowe rozwiązania

Okrąg o równaniu x² + y² − 12x − 8y + 43 = 0 ma środek punkcie S₁ = (6, 4) i promień r₁ = 3 , a okrąg o równaniu x² + y² − 2ax + 4y + a² − 77 = 0 ma środek w punkcie S₂ = (a, − 2) i promień r₂ = 9.

Ponieważ te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny, więc odległość pomiędzy środkami okręgów jest równa sumie promieni lub różnicy promieni:

|S₁S₂| = r₁ + r₂ lub |S₁S₂|= r₂– r₁

Otrzymujemy zatem równania

Zatem

Równanie (a − 6)² = 108 ma dwa rozwiązania:

natomiast są okręgami stycznymi wewnętrznie dla a = 6 .

Okrąg o równaniu x² + y² − 12x − 8y + 43 = 0 ma środek punkcie S₁ = (6, 4) i promień r₁ = 3 , a okrąg o równaniu x² + y² − 2ax + 4y + a² − 77 = 0 ma środek w punkcie S₂ = (a, − 2) i promień r₂ = 9.

Okręgi te mają różne promienie, więc te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny wtedy i tylko wtedy, gdy mają dokładnie jedną wspólną styczną. Tak jest wtedy i tylko wtedy, gdy odległość środka jednego z tych okręgów od tej stycznej jest równa promieniowi tego okręgu. Jeśli tę wspólną styczną oznaczymy przez k , to wtedy mamy

odl (S₁, k) = 3

Odejmując stronami równania okręgów otrzymujemy

(12 − 2a)x + 12y + a² − 120 = 0 .

Jest to równanie wspólnej osi potęgowej tych okręgów. Jeśli teraz istnieją takie wartości parametru a , dla których spełniony jest warunek odl (S₁, k) = 3, to wtedy ta oś potęgowa jest jednocześnie wspólną styczną tych okręgów. Otrzymujemy zatem równanie

Okrąg o równaniu x² + y² − 12x − 8y + 43 = 0 ma środek punkcie S₁ = (6, 4) i promień r₁ = 3 , a okrąg o równaniu x² + y² − 2ax + 4y + a² − 77 = 0 ma środek w punkcie S₂ = (a, − 2) i promień r₂ = 9.

ma dokładnie jedno rozwiązanie. Stąd otrzymujemy kolejno

Stąd otrzymujemy równanie z niewiadomą x i parametrem a

Ponieważ

dla każdego a , więc równanie jest kwadratowe. Zatem układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy to równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie, a tak jest wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego

jest równy 0. Otrzymujemy więc równanie

Rozwiązanie składa się z trzech etapów:

Pierwszy etap polega na wyznaczeniu środków i promieni obu podanych okręgów oraz ustaleniu warunków ogólnych ich położenia względem siebie.

Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 2 punkty.

Drugi etap polega na wyznaczeniu równania z jedną niewiadomą, która opisuje warunek styczności zewnętrznej i rozwiązanie tego równania.

Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 2 punkty.

Trzeci etap polega na wyznaczeniu równania z jedną niewiadomą, która opisuje warunek styczności wewnętrznej i rozwiązanie tego równania.

Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 2 punkty.

Uwaga:
Etapy drugi i trzeci oceniane są niezależnie od siebie.

Podział punktów za pierwszy etap rozwiązania:
Zdający otrzymuje 2 punkty, gdy:
zapisze współrzędne środków i promienie obu okręgów:
S₁ = (6,4) , r₁ = 3 oraz S₂ =  (a,−2) , r₂ = 9
oraz
zapisze warunki styczności obu okręgów w dwóch przypadkach:
|S₁S₂|= r₁ + r₂ , |S₁S₂|= r₂ – r₁.

Zdający otrzymuje 1 punkt, gdy:
• zauważy i zapisze, że są dwa przypadki styczności okręgów, tj. styczność zewnętrzną i wewnętrzną

albo
• wyznaczy współrzędne środków okręgów i obliczy promienie obu okręgów.

Podział punktów za drugi etap rozwiązania:
Zdający otrzymuje 2 punkty, gdy zapisze równanie:

Podział punktów za trzeci etap rozwiązania:
Zdający otrzymuje 2 punkty, gdy zapisze równanie:

i wyznaczy jego rozwiązanie: a = 6 .

Zdający otrzymuje 1 punkt, gdy zapisze równanie:

1. Jeżeli zdający prowadzi poprawne rozumowanie na każdym etapie rozwiązania zadania i rozwiązuje zadanie do końca, ale popełnia jedynie błędy rachunkowe, to może otrzymać co najwyżej 5 punktów, o ile popełnione błędy nie ułatwiają rozważanego zagadnienia na żadnym etapie rozwiązania.

2. Jeżeli zdający prowadzi poprawne rozumowanie na każdym etapie rozwiązania zadania, rozwiązuje zadanie do końca i jedynym błędem, który jednak nie ułatwia rozwiązania zadania na żadnym etapie rozwiązania, jest błąd, polegający na:

a) niepoprawnym wyznaczeniu promieni okręgów lub współrzędnych ich środków, to zdający otrzymuje co najwyżej 4 punkty;
b) zastosowaniu niepoprawnej metody wyznaczania odległości środków okręgów, to zdający otrzymuje co najwyżej 4 punkty;

c) zastosowaniu niepoprawnego wzoru

lub

to zdający otrzymuje co najwyżej 4 punkty.

3. Jeżeli zdający sporządzi poprawną ilustrację graficzną i na tej podstawie zapisze, że dla a = 6 podane okręgi są styczne wewnętrznie i na tym zakończy, to otrzymuje 2 punkty.

4. Jeżeli zdający rozważa tylko jeden przypadek styczności okręgów i w tym przypadku rozwiąże zadanie do końca, popełniając jeden błąd opisany w uwadze 2., to otrzymuje co najwyżej 2 punkty.

Zdający otrzymuje 6 punktów , gdy wyznaczy wszystkie wartości parametru a: a = 6 lub a = 6 + 6√3 lub a = 6 − 6√3.

Zdający otrzymuje 5 punktów , gdy wyznaczy tylko jedno z rozwiązań równania z jedną niewiadomą a zapisze równanie kwadratowe z niewiadomą a , np.: a = 6 .

Zdający otrzymuje 4 punkty , gdy zapisze równanie wielomianowe z niewiadomą a :

Zdający otrzymuje 3 punkty , gdy

• zapisze równanie z niewiadomą a:

albo
• zapisze równanie kwadratowe z jedną niewiadomą x (lub y ) i parametrem a oraz zapisze, że równanie to musi mieć jedno rozwiązanie, np.:

oraz Δ=0.

Zdający otrzymuje 2 punkty , gdy

• zapisze równanie prostej (12−2a)x+12y+a²−120=0 oraz zapisze współrzędne środka i promień jednego z okręgów oraz zapisze, że okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny, gdy odległość środka jednego okręgu od wspólnej stycznej tych okręgów jest równa promieniowi tego okręgu

albo

• zapisze równanie z jedną niewiadomą x (lub y ) i parametrem a , np.:

Zdający otrzymuje 1 punkt , gdy
• zapisze równanie prostej (12−2a)x+12y+a²−120=0

albo

• zapisze współrzędne środka i promień jednego z okręgów oraz zapisze, że okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny, gdy odległość środka jednego okręgu od wspólnej stycznej tych okręgów jest równa promieniowi tego okręgu.

Jeżeli zdający zapisze równanie prostej, będącej osią potęgową okręgów i traktuje to równanie jak równanie kwadratowe zmiennej a , a następnie wyznacza konkretne wartości x , y , a , sprawdza dla wyznaczonych wartości prawdziwość równania osi potęgowej okręgów i podaje jedno z rozwiązań zadania, to otrzymuje 3 punkty .