Odpowiedź do zadania

Odpowiedź:

Przykładowe rozwiązania

I sposób

Nierówność możemy przekształcić w sposób równoważny

Z założenia y > 0 , x > 0 i a > 0 . Zatem y + a > 0 i x > 0 , co oznacza, że mianownik ułamka stojącego po lewej strony otrzymanej nierówności jest dodatni. Kwadrat (x − y)² jest nieujemny, a z założenia x < y wynika, że y − x > 0 , więc a (y − x) > 0 . Stąd licznik rozważanego ułamka jest dodatni. W rezultacie otrzymana nierówność jest prawdziwa.

To kończy dowód.

II sposób

Z założenia wynika, że y > 0 , x > 0 i a > 0 . Zatem y + a > 0 . Mnożąc obie strony nierówności

przez liczbę dodatnią (y + a)x , otrzymujemy

Ta nierówność jest prawdziwa, gdyż (x − y)² > 0 oraz a(y − x) > 0 , bo z założenia x < y i a > 0 . To kończy dowód.

III sposób

Wykażemy najpierw, że jeżeli licznik i mianownik ułamka większego od 1 zwiększymy o tę samą liczbę dodatnią, to otrzymamy ułamek mniejszy od wyjściowego, gdyż przy założeniu, że liczby x, y i a są dodatnie, nierówność

jest równoważna kolejno nierównościom

co jest prawdą.

Zatem

gdyż suma liczby dodatniej i jej odwrotności jest co najmniej równa 2. Ta równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy tą liczbą jest 1, co w naszym przypadku nie zachodzi, bo równość

oznaczałaby, że x = y , co jest sprzeczne z założeniem x < y .

IV sposób

Niech

Obliczamy

zatem ƒ′(a) > 0 dla każdego a ≥ 0 , więc ƒ jest funkcją rosnącą. Wobec tego jeśli a > 0 , to

bo suma liczby dodatniej i jej odwrotności jest równa co najmniej 2.

Uwagi:

1. Prawdziwość nierówności

można też uzasadnić, odwołując się do nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną różnych liczb dodatnich

2. Uzasadnienie, że funkcja ƒ jest rosnąca w przedziale ⟨0, +∞) możemy przeprowadzić bez odwoływania się do rachunku pochodnych. Rozwiązanie może wyglądać następująco.

Niech x i y będą dowolnymi dodatnimi liczbami rzeczywistymi takimi, że x < y . Rozważmy funkcję ƒ określoną wzorem

dla każdej liczby rzeczywistej a ≠ − y.

Jest to funkcja homograficzna. Zapiszmy jej wzór w postaci kanonicznej

Wykresem tej funkcji jest hiperbola, której asymptotą poziomą jest, w układzie współrzędnych aOb, prosta o równaniu

natomiast asymptotą pionową jest prosta o równaniu a = − y . Ponieważ y > x > 0 , więc

co oznacza, że asymptota pozioma leży w I i II ćwiartce układu współrzędnych, zaś asymptota pionowa leży w II i III ćwiartce tego układu.

Ponadto x − y < 0 , więc hiperbola, która jest wykresem funkcji ƒ jest obrazem hiperboli o równaniu

gdzie A < 0 , leżącej w II i IV ćwiartce układu współrzędnych, jak na poniższym rysunku.

Wynika stąd, że w przedziale (−y , +∞) funkcja ƒ jest rosnąca. W szczególności jest ona rosnąca w przedziale ⟨0, +∞) . Zatem dla każdego argumentu a > 0 prawdziwa jest nierówność ƒ(a)>ƒ(0). Zauważmy, że