Odpowiedź:
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Przyjmujemy, że funkcja ƒ
jest określona wzorem ƒ(x) = 2x2+x+2219.
Równanie stycznej do krzywej w punkcie P = (x0, ƒ(x0)) ma postać:
y − ƒ(x0) = ƒ′(x0)(x − x0).
Z danych zadania wynika, że: x0 = 10, ƒ(x0) = ƒ(10) = 2429 .
Pochodna funkcji ƒ jest określona wzorem: ƒ′(x) = 4x + 1 .
Wartość tej pochodnej dla argumentu x0 = 10 jest równa
Pochodna funkcji ƒ jest określona wzorem: ƒ′(x) = 4x + 1 .
Wartość tej pochodnej dla argumentu x0 = 10 jest równa
ƒ′(x0) = ƒ′(10) = 4 ⋅ 10 + 1 = 41.
Ponieważ ƒ′(x0) = a, zatem a = 41.
Na podstawie równania stycznej do krzywej w danym punkcie mamy: y − 2429 = 41(x − 10) ,
a stąd po przekształceniach otrzymujemy:
Na podstawie równania stycznej do krzywej w danym punkcie mamy: y − 2429 = 41(x − 10) ,
a stąd po przekształceniach otrzymujemy:
y = 41x + 2019. Zatem b = 2019.
Odpowiedź: Współczynnik b = 2019.
II sposób
Prosta o równaniu kierunkowym y = ax + b jest styczna do paraboli określonej równaniem y = 2x2+x+2219.
Zatem układ równań
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Stąd otrzymujemy: 2x2+x+2219 = ax + b . Po przekształceniach mamy:
2x2 + (1 − a)x + 2219 − b = 0 .
Powyższe równanie musi mieć tylko jedno rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych, które
jest jednocześnie odciętą punktu styczności paraboli i prostej. Oznacza to, że x0 = 10 (odcięta
punktu styczności). Z drugiej strony równanie 2x2 + (1 − a)x + 2219 − b = 0 ma tylko jedno rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych, gdy Δ = 0 i jest ono równe
czyli
Stąd wynika, że a = 41 .
Współczynnik b możemy wyznaczyć na trzy sposoby:
1. sposób
Podstawiając do równania prostej y = ax + b wartość a = 41 oraz współrzędne punktu P, otrzymujemy 2429 = 41 ⋅ 10 + b . Stąd b = 2019.
Podstawiając do równania prostej y = ax + b wartość a = 41 oraz współrzędne punktu P, otrzymujemy 2429 = 41 ⋅ 10 + b . Stąd b = 2019.
2. sposób
Podstawiając do równania 2x2 + (1 − a)x + 2219 − b = 0 wartość a = 41 , otrzymamy równanie 2x2 − 40 x + 2219 − b = 0 . Równanie to ma jedno rozwiązanie, czyli Δ = 0 , a zatem
(− 40)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ (2219 − b ) = 0 . Stąd b = 2019.
Podstawiając do równania 2x2 + (1 − a)x + 2219 − b = 0 wartość a = 41 , otrzymamy równanie 2x2 − 40 x + 2219 − b = 0 . Równanie to ma jedno rozwiązanie, czyli Δ = 0 , a zatem
(− 40)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ (2219 − b ) = 0 . Stąd b = 2019.
3. sposób
Podstawiając do równania 2x2 + (1 − a)x + 2219 − b = 0 wartości a = 41 i x0 = 10 mamy:
2 ⋅ 102 − 40 ⋅ 10 + 2219 − b = 0 . Stąd b = 2019.
Podstawiając do równania 2x2 + (1 − a)x + 2219 − b = 0 wartości a = 41 i x0 = 10 mamy:
2 ⋅ 102 − 40 ⋅ 10 + 2219 − b = 0 . Stąd b = 2019.
schemat punktacji
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy obliczy współczynnik b: b = 2019 .
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy obliczy współczynnik kierunkowy stycznej: a = 41 lub obliczy wartość pochodnej funkcji ƒ, określonej wzorem ƒ(x) = 2x2 + x + 2219, dla argumentu 10: ƒ′ (10) = 41.
gdy obliczy współczynnik kierunkowy stycznej: a = 41 lub obliczy wartość pochodnej funkcji ƒ, określonej wzorem ƒ(x) = 2x2 + x + 2219, dla argumentu 10: ƒ′ (10) = 41.
Uwagi
1. Jeżeli zdający popełni błąd przy wyznaczaniu pochodnej danej funkcji, ale otrzyma
wielomian stopnia 1. i poprawnie zinterpretuje współczynnik a jako ƒ′ (10) , to może otrzymać
1 punkt, o ile konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca.
2. Jeżeli zdający przyjmie, że x0 = 2429 i rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, nie
popełniając innych błędów, to otrzymuje 1 punkt.