Odpowiedź:
Przykładowe rozwiązania

I sposób

Wyznaczamy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu y = 3x i przechodzącej przez punkt A:
y = − 13 x + b.

Punkt A należy do prostej 
y = − 13 x + b,
więc 
10 = − 13 (−18) + b . Stąd b = 4.

Obliczamy współrzędne punktu S przecięcia prostej y=3x i prostej AB:


Wtedy 3x = − 13 x + 4.

Zatem


Ponieważ punkt S jest środkiem odcinka AB , więc


Stąd


II sposób („odległość punktu od prostej”)

Równanie prostej prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez punkt A ma postać:
y = − 13 x + b

Wtedy 10 = − 13 (−18) + b , stąd b = 4 .
Zatem równanie prostej AB ma postać:
y = − 13 x + 4 .

Punkt B należy do tej prostej, więc
B = (x,− 13 x + 4) .

Obliczamy odległość punktu A od prostej o równaniu y=3x :


Ponieważ prosta o równaniu y=3x jest symetralną odcinka AB, więc odległość punktu
B = (x,− 13 x + 4) od prostej o równaniu y=3x jest także równa 

Zatem otrzymujemy równanie:


Równanie to jest równoważne alternatywie równań


Stąd

Obliczamy współrzędne punktu

Uwaga:
Zdający może bez wyznaczenia równania prostej y = − 13 x + 4 , tj. prostej prostopadłej do prostej o równaniu y=3x, na której leży punkt A=(–18,10), obliczyć odległość
d = 

punktu A = (−18,10) od prostej o równaniu y=3x i zapisać równanie z jedną niewiadomą


z którego wyznaczy pierwszą współrzędną środka odcinka AB.


III sposób

Niech B = (x,y) będzie końcem odcinka AB. Wtedy współrzędne środka S tego odcinka są równe


Punkt ten leży na symetralnej odcinka AB, a więc na prostej o równaniu y=3x , więc


Prosta prostopadła do prostej o równaniu y = 3x − 64 i przechodząca przez punkt A ma równanie postaci:
y = − 13 (x + 18) + 10 .

Punkt B należy do tej prostej, więc pozostaje rozwiązać układ równań
y = 3x − 64 i y = −  13 (x + 18) + 10. Stąd otrzymujemy


Zatem druga współrzędna punktu B jest równa


Uwaga
Równanie y = 3x − 64 , które uzyskaliśmy w początkowym etapie rozwiązania to równanie prostej przechodzącej przez punkt B i równoległej do symetralnej odcinka AB. Równanie tej prostej możemy też otrzymać, korzystając ze wzoru na odległość miedzy prostymi równoległymi oraz odległość punktu od prostej.

Punkt B leży po przeciwnej stronie symetralnej odcinka AB niż punkt A, na prostej m równoległej do tej symetralnej, przy czym odległość prostej m od symetralnej jest równa odległości punktu A od symetralnej. Prosta m ma więc równanie postaci y = 3x + c . Ponieważ odległość między prostą m i symetralną odcinka AB jest równa odległości punktu A od symetralnej odcinka AB, więc otrzymujemy równanie


Stąd |c| = 64 , więc c = − 64 lub c = 64 .

Otrzymaliśmy zatem dwie proste o równaniach
y = 3x − 64 oraz y = 3x + 64 .
Drugie z tych równań jest równaniem prostej przechodzącej przez punkt A,
gdyż 3 ⋅ (−18 ) + 64 = 10 , więc prosta m ma równanie postaci
y = 3x − 64 .
schemat punktacji
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający obliczy i zapisze współrzędne szukanego punktu B :

Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający:
• zapisze równanie z jedną niewiadomą, pozwalające obliczyć współrzędną szukanego punktu B , np.

lub


lub


i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.

Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający:
• wyznaczy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu y=3x i przechodzącej przez punkt A = (− 18,10)
oraz obliczy odległość d punktu A = (− 18,10) od prostej o równaniu y=3x

albo

• obliczy współrzędne środka odcinka AB:

albo

• wyznaczy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu y=3x i przechodzącej przez punkt A = (− 18,10)
oraz wyznaczy równanie prostej przechodzącej przez punkt B i równoległej do symetralnej odcinka AB: y=3x−64
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.

Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania 1 p.
Zdający:
• wyznaczy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu y=3x i przechodzącej przez punkt A=(−18,10)

albo



• obliczy odległość d punktu A=(−18,10) od prostej o równaniu y=3x

albo

• wyznaczy odległość punktu A od punktu należącego do symetralnej odcinka AB w zależności od jednej zmiennej, np.:

albo

• wyznaczy współrzędne środka S odcinka AB w zależności od współrzędnych końca B odcinka AB:

albo

• wyznaczy równanie prostej przechodzącej przez punkt B i równoległej do symetralnej odcinka AB: y=3x−64


Uwagi:

1. Jeśli zdający popełni błędy rachunkowe, które nie przekreślają poprawności rozumowania i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać za całe rozwiązanie co najwyżej 3 punkty.

2. Jeżeli jedynym błędem jest:
a) błąd przy ustalaniu współczynnika kierunkowego prostej AB, to zdający może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie;
b) błąd przy wyznaczaniu b, polegający na zamianie miejscami współrzędnych punktu A, to zdający może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie;
c) błąd polegający na zamianie miejscami współrzędnych przy wyznaczaniu środka S, to zdający może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie;
d) błąd polegający na błędnym podstawieniu do wzoru na odległość punktu od prostej, to zdający może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie;
e) błąd polegający na zastosowaniu niepoprawnego wzoru
to zdający może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.

Powrót do pytań