Przykładowe rozwiązania
I sposób
Wyznaczamy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu y = 3x i przechodzącej przez punkt A:
y = − 1⁄3
x + b.
Punkt A należy do prostej
y = − 1⁄3
x + b,
więc
10 = − 1⁄3 (−18) + b . Stąd b = 4.
Obliczamy współrzędne punktu S przecięcia prostej y=3x i prostej AB:
Wtedy 3x = − 1⁄3 x + 4.
Zatem
Ponieważ punkt S jest środkiem odcinka AB , więc
Stąd
II sposób („odległość punktu od prostej”)
Równanie prostej prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez punkt A ma postać:
y = − 1⁄3
x + b
Wtedy 10 = − 1⁄3 (−18) + b , stąd b = 4 .
Zatem równanie prostej AB ma postać:
y = − 1⁄3 x + 4 .
Punkt B należy do tej prostej, więc
B = (x,− 1⁄3 x + 4) .
Obliczamy odległość punktu A od prostej o równaniu y=3x :
Ponieważ prosta o równaniu y=3x jest symetralną odcinka AB, więc odległość punktu
B = (x,−
1⁄
3 x + 4) od prostej o równaniu y=3x jest także równa
Zatem otrzymujemy równanie:
Równanie to jest równoważne alternatywie równań
Stąd
Obliczamy współrzędne punktu
Uwaga:
Zdający może bez wyznaczenia równania prostej y = − 1⁄3 x + 4 , tj. prostej prostopadłej do prostej o równaniu y=3x, na której leży punkt A=(–18,10), obliczyć odległość
d =
punktu A = (−18,10) od prostej o równaniu y=3x i zapisać równanie z jedną niewiadomą
z którego wyznaczy pierwszą współrzędną środka odcinka AB.
III sposób
Niech B = (x,y) będzie końcem odcinka AB. Wtedy współrzędne środka S tego odcinka są równe
Punkt ten leży na symetralnej odcinka AB, a więc na prostej o równaniu y=3x , więc
Prosta prostopadła do prostej o równaniu y = 3x − 64 i przechodząca przez punkt A ma równanie postaci:
y = − 1⁄3 (x + 18) + 10 .
Punkt B należy do tej prostej, więc pozostaje rozwiązać układ równań
y = 3x − 64 i y = − 1⁄3 (x + 18) + 10. Stąd otrzymujemy
Zatem druga współrzędna punktu B jest równa
Uwaga
Równanie y = 3x − 64 , które uzyskaliśmy w początkowym etapie rozwiązania to równanie
prostej przechodzącej przez punkt B i równoległej do symetralnej odcinka AB. Równanie tej
prostej możemy też otrzymać, korzystając ze wzoru na odległość miedzy prostymi
równoległymi oraz odległość punktu od prostej.
Punkt B leży po przeciwnej stronie symetralnej odcinka AB niż punkt A, na prostej m
równoległej do tej symetralnej, przy czym odległość prostej m od symetralnej jest równa
odległości punktu A od symetralnej. Prosta m ma więc równanie postaci y = 3x + c . Ponieważ
odległość między prostą m i symetralną odcinka AB jest równa odległości punktu A od
symetralnej odcinka AB, więc otrzymujemy równanie
Stąd |c| = 64 , więc c = − 64 lub c = 64 .
Otrzymaliśmy zatem dwie proste o równaniach
y = 3x − 64 oraz y = 3x + 64 .
Drugie z tych
równań jest równaniem prostej przechodzącej przez punkt A,
gdyż 3 ⋅ (−18 ) + 64 = 10 , więc
prosta m ma równanie postaci
y = 3x − 64 .