Przykładowe rozwiązania

Zdarzeniami elementarnymi w przestrzeni Ω są wszystkie pary liczb (a,b) , gdzie a,b ∈ {1,2,3,4,5}. Jest to model klasyczny. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa 

|Ω| = 5 ⋅ 5 = 25.

Obliczamy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A polegającym na otrzymaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą, np. wypisując je i zliczając:

A = {(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)}.

Liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A jest więc równa 9.

Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe: P(A) = ⁹⁄₂₅

Wszystkie zdarzenia elementarne możemy przedstawić w postaci kwadratowej tablicy.

albo

Stąd |Ω| = 5 ⋅ 5 = 25

Jest to model klasyczny.

Zdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi zdarzeniu A są pary liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą. Są to wszystkie pary liczb wyróżnione w pierwszej tablicy lub zaznaczone w drugiej.

Jest ich 9. Wobec tego P(A) = ⁹⁄₂₅

Przedstawiamy model graficzny doświadczenia.
P – oznacza liczbę parzystą, N – nieparzystą.

Iloczyn dwóch liczb naturalnych jest nieparzysty, jeśli obie liczby są nieparzyste. W rozważanym doświadczeniu, by zaszło interesujące nas zdarzenie, musimy wylosować dwie liczby nieparzyste. Do wyznaczenia poszukiwanego prawdopodobieństwa wystarczy zatem wymnożyć liczby z gałęzi narysowanego drzewa, odpowiadające sytuacji: N-N.

gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: P(A) = ⁹⁄₂₅

Zdający otrzymuje 1 p.
gdy

• obliczy liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych: |Ω| = 5² = 25

albo

• obliczy (zaznaczy poprawnie w tabeli) liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A : A = 9 i nie wskazuje przy tym niepoprawnych zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A,

albo

• zapisze przy stosowaniu drzewa probabilistycznego na dwóch etapach prawdopodobieństwa potrzebne do wyznaczenia końcowego wyniku oraz wskaże wszystkie sytuacje sprzyjające rozważanemu zdarzeniu,

albo

• wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A lub wypisze wszystkie zdarzenia elementarne

i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.

Uwagi

1. Jeżeli zdający popełni błąd przy wypisywaniu par i wypisze o jedną za mało lub o jedną za dużo, ale nie wypisze żadnej niewłaściwej i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy prawdopodobieństwo, to otrzymuje 1 punkt.

2. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma P(A) > 1 lub P(A) < 0 , to otrzymuje za całe rozwiązanie 0 punktów, o ile końcowy wynik nie jest skutkiem błędu w działaniach na ułamkach.

3. Jeżeli zdający stosuje drzewo probabilistyczne, w którym przynajmniej pięć gałęzi odpowiada sytuacjom sprzyjającym rozważanemu zdarzeniu, i zdający pominie jedną z takich gałęzi, to może otrzymać 1 punkt, jeśli doprowadzi rozumowanie do końca.

4. Jeżeli zdający zapisze tylko: P(A) = ⁹⁄₂₅ , to otrzymuje 1 punkt.

5. Jeżeli zdający zapisze tylko: |A| = 9 , |Ω| = 25 , P(A) = ⁹⁄₂₅ , to otrzymuje 2 punkty.

6. Jeżeli zdający zapisze prawdopodobieństwo P(A) = ³⁄₅ · ³⁄₅ , to otrzymuje 2 punkty.