Odpowiedź:
Przykładowe rozwiązania

I sposób − analitycznie − styczne AC i AB


Proste AC i AB przechodzą przez punkt A = (7,−1) , żadna z nich nie jest prostopadła do osi Ox układu współrzędnych, więc mają równania postaci

y = a(x − 7) − 1 ,
axy − 7a − 1 = 0 .

Obie te proste są styczne do okręgu, zatem ich odległości od środka okręgu są równe promieniowi okręgu. Stąd otrzymujemy równanie


Szukane styczne mają więc równania:


Tylko druga z tych prostych przechodzi przez trzecią ćwiartkę układu współrzędnych, więc prosta AC ma równanie


Trójkąt ABC jest równoramienny, a jego ramionami są boki AC i BC. Zatem wierzchołek C leży na przecięciu prostej AC i symetralnej l boku AB. Prosta l jest prostopadła do prostej AB i przechodzi przez punkt S = (0,0). Zatem współczynnik kierunkowy prostej l jest równy
Stąd l ma równanie postaci


Współrzędne wierzchołka C obliczymy, rozwiązując układ równań


Stąd otrzymujemy równanie

14c.png

więc 

Obliczamy współrzędne punktu D styczności prostej AB z danym okręgiem. Jest to punkt przecięcia prostej l z prostą AB. Wystarczy więc rozwiązać układ równań


Stąd otrzymujemy równanie


więc


Punkt D jest środkiem odcinka AB, więc


Zatem


Zatem

II sposób − syntetycznie – długości odcinków CE i CS


Promień okręgu jest równy r = √10. Długość odcinka SA jest równa

 
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ASE otrzymujemy


Z twierdzenia o odcinkach stycznych otrzymujemy14g.png

Trójkąty CES i CDA są podobne, gdyż oba są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy wierzchołku C. Stąd wynika


Stąd



Uwaga
Długości m i n możemy też obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów ACD i CSE. Otrzymujemy wtedy



Zatem długość ramienia AC trójkąta ABC jest równa


Niech C = (x, y). Ponieważ więc


Pierwsze równanie możemy zapisać w postaci 


Stąd i z drugiego równania otrzymujemy


Stąd i z pierwszego równania mamy


Gdy 14o.png, a gdy 

Ponieważ obie współrzędne punktu C są ujemne, więc 

Niech B = (xy). Ponieważ  więc


Stąd



Drugie równanie możemy zapisać w postaci


Gdy 14w.png, a gdy .

Ponieważ punkt B nie leży w czwartej ćwiartce układu współrzędnych, więc



schemat punktacji
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania 1 p.
Zdający:
a) obliczy długości odcinków stycznych poprowadzonych z punktu A:
albo
b) obliczy współrzędne środka M odcinka AS oraz długość odcinka AS, gdzie S = (0, 0):
albo
c) obliczy sinus kąta SAE:
albo
d) zapisze równanie pęku prostych przechodzących przez punkt A:
albo
e) zapisze, że trójkąt ADC jest podobny do trójkąta SEC
f) obliczy długość tylko jednego z odcinków AD lub AE:
oraz zapisze tę długość w zależności od współrzędnych punktu D (lub E) lub obliczy tangens kąta SAE lub SAD:
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.

Rozwiązanie, w którym istotny postęp 2 p.
Zdający:
A) obliczy 14.6.png oraz zapisze układ równań


albo
B) obliczy14.25.pngoraz zapisze układ równań z niewiadomymi m = |CE|  i n = |CS|:


albo
C) obliczy14.6.png, obliczy tangens kąta SAE:
oraz obliczy współczynnik kierunkowy prostej AS 
albo
D) obliczy współrzędne środka 
długość odcinka AS
oraz zapisze układ równań


albo
E) obliczy sinus kąta SAE:
tangens tego kąta:
oraz współczynnik kierunkowy prostej AS 
albo
F) zapisze równanie pęku prostych przechodzących przez punkt A:
oraz równanie z niewiadomą a:


albo
G) zapisze równanie pęku prostych przechodzących przez punkt A:
oraz układu równań
14.15.png 
wraz z warunkiem istnienia jednego rozwiązania tego układu i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.

Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający:
I obliczy współrzędne punktów styczności D i E:
albo
II zapisze równania prostych AC i AB:
albo
III obliczy długości odcinków CE i CS:
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.

Rozwiązanie prawie pełne 4 p.
Zdający
• obliczy współrzędne wierzchołka B:
albo
• obliczy współrzędne wierzchołka C:

Uwaga
Jeżeli zdający
• obliczy współrzędne wierzchołka B:
oraz zapisze układ równań z niewiadomymi x, y – współrzędnymi wierzchołka C, np.:
14.22.png i 
albo
• obliczy współrzędne wierzchołka C:
oraz zapisze układ równań z niewiadomymi x, y – współrzędnymi wierzchołka B, np.:
albo
• obliczy współrzędne obu wierzchołków B i C, popełniając w trakcie rozwiązania błędy rachunkowe to otrzymuje 5 punktów.

Rozwiązanie pełne 6 p.
Zdający obliczy współrzędne wierzchołków B i C:

Uwagi

1. Jeżeli zdający pominie informację o ujemnych współrzędnych punktu C i tym samym zamieni miejscami proste AC i AB, to może otrzymać 5 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie popełni innych błędów.

2. Jeżeli zdający błędnie przyjmuje, że podstawą trójkąta jest inny bok niż AB, to może otrzymać co najwyżej 5 punktów.

3. Jeżeli zdający realizuje strategię rozwiązania i popełnia jedynie błędy rachunkowe, to może otrzymać 5 punktów, o ile popełnione błędy nie ułatwiają rozwiązania zadania na żadnym etapie.

4. Jeżeli zdający zapisze dwa równania z dwiema niewiadomymi, którymi są współrzędne punktu B lub C, to otrzymuje 2 punkty.

5. Jeżeli zdający odczytuje z rysunku współrzędne punktu E, a następnie wyznacza równanie stycznej AE i na tym poprzestaje, to może otrzymać 1 punkt.
Powrót do pytań