Odpowiedź:
Przykładowe rozwiązanie

Równanie ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste, gdy jego wyróżnik jest dodatni, czyli

Δ = (m + 1)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−m2 + 1) > 0
5m2 + 2m − 3 > 0
m1 = −1 , m2 = 35

stąd

Warunek 12_2.pngmożemy zapisać w postaci równoważnej


Ze wzorów Viète’a na sumę i iloczyn pierwiastków trójmianu kwadratowego możemy tę nierówność zapisać w postaci:


Wyznaczamy część wspólną zbiorów

Odpowiedź

schemat punktacji
Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.

Pierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności Δ > 0:
Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.

Uwaga
Jeżeli zdający zapisze Δ ≥ 0, to za tę część otrzymuje 0 punktów.

Drugi etap polega na rozwiązaniu nierówności
Za tę część rozwiązania zdający otrzymuje 4 punkty.

Podział punktów za drugi etap rozwiązania:

1 punkt zdający otrzymuje za zapisanie nierówności w postaci:
lub równoważnej.

2 punkty zdający otrzymuje za doprowadzenie do nierówności ze zmienną m, np.

3 punkty zdający otrzymuje za wyznaczenie miejsc zerowych wielomianu
czyli wielomianu12.6.png:

4 punkty zdający otrzymuje za rozwiązanie powyższej nierówności.

Trzeci etap polega na wyznaczeniu szukanej wartości parametru m z uwzględnieniem wszystkich warunków.

Uwagi

1. W przypadku otrzymania na jednym z etapów (I lub II) zbioru pustego lub zbioru R jako zbioru rozwiązań nierówności przyznajemy 0 punktów za III etap.

2. W przypadku otrzymania w II etapie zbioru rozwiązań, będącego podzbiorem zbioru rozwiązań z I etapu lub otrzymania w I etapie zbioru rozwiązań, będącego podzbiorem zbioru rozwiązań z II etapu, przyznajemy 0 punktów za III etap.

3. O ile nie zachodzą przypadki z uwag 1. i 2. i zdający poprawnie wykona etap I oraz popełnia błędy w rozwiązaniu nierówności z etapu II, albo gdy popełnia błędy w etapie I i otrzyma co najmniej 1 punkt za etap II, to za III etap może otrzymać 1 punkt.

4. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania stosuje nieistniejącą zależność: „suma sześcianów = sześcian sumy”, prowadzącą do uproszczenia badanego problemu, lub zdający stosuje inny błędny wzór, prowadzący do uproszczenia badanego problemu, ale otrzyma nierówność wielomianową stopnia trzeciego, uzyska trzy miejsca zerowe i poprawnie rozwiązuje otrzymaną nierówność, to za II etap otrzymuje 1 punkt (za rozwiązanie nierówności).

5. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania otrzyma poprawną nierówność wielomianową stopnia 3. i popełnia błędy rachunkowe w jej rozwiązaniu, to może otrzymać 3 punkty za II etap, o ile wyznaczy 3 różne miejsca zerowe wielomianu z tej nierówności i konsekwentnie rozwiąże nierówność do końca, zaś w każdym innym przypadku otrzymuje 2 punkty za ten etap.

6. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania rozważa nierówność wielomianową stopnia większego niż 3. lub niepoprawną nierówność stopnia 3. i wyznacza miejsca zerowe w liczbie właściwej dla stopnia wielomianu i otrzymuje przynajmniej 3 miejsca zerowe, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty za II etap, o ile konsekwentnie rozwiąże nierówność. Jeżeli wielomian w tej nierówności nie ma trzech różnych miejsc zerowych, to zdający może otrzymać co najwyżej 2 punkty za ten etap.

7. Jeżeli zdający przy rozwiązywaniu otrzymanej w II etapie nierówności stopnia co najmniej 3. popełnia błąd, polegający na niepoprawnym grupowaniu wyrazów, np. z nierówności 12.10.png uzyska 12.11.png, to nie otrzymuje punktów za części II.3 i II.4.
Powrót do pytań