Zauważmy, że

Rozwiązanie zadania składa się z dwóch etapów:

• uzasadnienie podzielności przez 2;

• uzasadnienie podzielności przez 3.

Gdy którakolwiek z liczb k, m jest parzysta, to iloczyn

jest parzysty, a gdy obie liczby k, m są nieparzyste, to ich suma k + m jest liczbą parzystą, więc iloczyn

jest podzielny przez 2.

Podzielność przez 3. (I sposób)

Dowód przeprowadzimy w czterech rozłącznych sytuacjach: A, B, C, D.

A. Którakolwiek z liczb k, m jest podzielna przez 3.

Wtedy iloczyn

jest podzielny przez 3.

B. Obie liczby k, m przy dzieleniu przez 3 dają resztę 1.

Wtedy liczba k − m jest podzielna przez 3, więc iloczyn

jest podzielny przez 3.

C. Obie liczby k, m przy dzieleniu przez 3 dają resztę 2.

Wtedy liczba k − m jest podzielna przez 3, więc iloczyn

jest podzielny przez 3.

D. Jedna z liczb k, m przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1, a druga przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.

Wtedy liczba k + m jest podzielna przez 3, więc iloczyn

jest podzielny przez 3.

Podzielność przez 3. (II sposób)

Dowód przeprowadzimy w dwóch rozłącznych sytuacjach: E, F.

E. Którakolwiek z liczb k, m jest podzielna przez 3.

Wtedy iloczyn

jest podzielny przez 3.

F. Żadna z liczb k, m nie jest podzielna przez 3.

Wtedy kwadrat każdej z nich przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1, więc różnica

k² – m²

jest podzielna przez 3.

Wykazaliśmy zatem, że liczba

k³m – km³ 

jest podzielna przez 2 i przez 3, więc jest podzielna przez 2 ⋅ 3, czyli przez 6.

To kończy dowód.

Zauważmy, że

Iloczyn

k(k – 1)(k + 1)

to iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych, więc dokładnie jedna z nich jest podzielna przez 3 i co najmniej jedna jest podzielna przez 2, więc iloczyn jest podzielny przez 2 i przez 3, a więc jest podzielny przez 6.

Analogicznie iloczyn

m(m – 1)(m + 1)

jest podzielny przez 6.

Różnica dwóch liczb podzielnych przez 6 jest podzielna przez 6.

To kończy dowód.

• uzasadni podzielność przez 2

albo

• uzasadni podzielność przez 3 w dwóch przypadkach spośród A, B, C, D,

albo

• uzasadni podzielność przez 3 w przypadku F.

• uzasadni podzielność przez 2 i uzasadni podzielność przez 3 w dwóch przypadkach spośród A, B, C, D

albo

• uzasadni podzielność przez 2 i uzasadni podzielność przez 3 w przypadku F,

albo

• uzasadni podzielność przez 3,

albo

• zapisze liczbęw postaci 

przeprowadzi pełne rozumowanie uzasadniające podzielność przez 6.

1. Akceptujemy sytuację, w której zdający stwierdza bez uzasadnienia, że iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez 6 oraz różnica liczb podzielnych przez 6 jest podzielna przez 6.

2. Jeżeli zdający rozważa reszty z dzielenia liczb k i m przez 6 i udowodni podzielność przez 6 w jednym z poniższych 5 przypadków:

- dokładnie jedna z liczb k, m jest podzielna przez 6 lub obie liczby k, m dają przy dzieleniu przez 6 tę samą resztę;

- żadna z liczb k, m nie jest podzielna przez 6, a o podzielności liczby można wnioskować na podstawie iloczynu liczb k, m;

- żadna z liczb k, m nie jest podzielna przez 6, a o podzielności liczby można wnioskować na podstawie sumy liczb k, m;

- żadna z liczb k, m nie jest podzielna przez 6, a o podzielności liczby można wnioskować na podstawie sumy i iloczynu liczb k, m;

- żadna z liczb k, m nie jest podzielna przez 6, a o podzielności liczby można wnioskować na podstawie różnicy i iloczynu liczb k, m, to otrzymuje 1 punkt.

3. Jeżeli zdający rozważa reszty z dzielenia liczb k i m przez 6 i udowodni podzielność przez 6 w trzech z poniższych 5 przypadków: