Odpowiedź:
Przykładowe rozwiązania

I sposób – proste prostopadłe

Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej AB
aAB=13

Ponieważ kąt prosty w trójkącie ABC jest przy wierzchołku B, więc wyznaczamy równanie prostej prostopadłej do prostej AB i przechodzącej przez punkt B

y=−3x+35.

Obliczamy współrzędne punktu C, który jest punktem wspólnym prostych określonych równaniami y=2x+3 i y=−3x+35:


Stąd po rozwiązaniu układu równań otrzymujemy parę x=32/5 i y=79/5.

Zatem punkt C ma współrzędne (32/5,79/5).

II sposób – twierdzenie Pitagorasa

Ponieważ wierzchołek C trójkąta prostokątnego ABC leży na prostej o równaniu y=2x+3 , więc jego współrzędne zapisujemy następująco
C=(x,2x+3).

Punkt B jest wierzchołkiem kąta prostego, zatem z twierdzenia Pitagorasa wynika, że
|AC|2=|AB|2+|BC|2 .

Po podstawieniu współrzędnych punktów A, B i C otrzymujemy równanie
(x−4)2+(2x+3−3)2=(10−4)2+(5−3)2+(x−10)2+(2x+3−5)2,

czyli równanie
x2−8x+16+4x2=36+4+x2−20x+100+4x2−8x+4.

Zatem
20x=128 i dalej x=32/5.

Jeśli x=32/5, to y=79/5.

Zatem C=(32/5,79/5).

III sposób – iloczyn skalarny

Wektory niezerowe są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest równy 0. W tym przypadku oznacza to, że iloczyn skalarny wektorów 32_3.pngi jest równy 0.
Współrzędne wektora32_3.pngsą równe 32_3.png=[6,2].

Punkt C ma współrzędne równe C=(x,2x+3), więc współrzędne wektora są równe
=[x−10,2x+3−5].

Z warunku 32_4.pngotrzymujemy równanie
6(x−10)+2(2x−2)=0,
3x−30+2x−2=0,
x=32/5.

Zatem
schemat punktacji
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1 p.

Zdający

• uzależni obie współrzędne punktu C od jednej zmiennej,

albo

• zapisze równość |AC|2=|AB|2+|BC|2  i obliczy długość AB: |AB|=2√10

albo

• zapisze równość |AC|2=|AB|2+|BC|2  i zapisze jedną z długości |AC| lub |BC| w zależności od współrzędnych punktu C,

albo

• obliczy współrzędne wektora 32_3.png: 32_3.png=[6,2] i zapisze, że 32_4.png
albo
• wyznaczy współrzędne wektora BC w zależności od współrzędnych punktu C:

albo
• wyznaczy współrzędne wektora 32_3.png w zależności od jednej współrzędnej punktu C,

albo
• obliczy współczynnik kierunkowy równania prostej AB:

i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.

Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający

• wyznaczy współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej AB i przechodzącej przez punkt B: aBC = − 3

albo
• zapisze równanie z dwiema niewiadomymi, np.:

albo
• obliczy współrzędne wektora
,
wyznaczy współrzędne wektora 32_3.pngw zależności od jednej współrzędnej punktu C, np.: 32_3.png = [x − 10, 2 x + 3 − 5] i zapisze, że 

albo
• zapisze równość wynikającą z warunku  w której niewiadomymi są dwie współrzędne punktu C, np.: 6 ( x − 10 ) +2 ( y − 5 ) = 0
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.

Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, która jest współrzędną punktu C,
np.: 2x+3=−3(x−10)+5 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.


Rozwiązanie prawie pełne 4 p.
Zdający

• obliczy x=32/5 albo y=79/5 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy

albo
• obliczy obie współrzędne punktu C z błędami rachunkowymi.

Rozwiązanie pełne 5 p.

Zdający obliczy i zapisze współrzędne punktu C=(32/5,79/5)
Powrót do pytań