Przykładowe rozwiązania

Nierówność możemy przekształcić równoważnie 

Ponieważ liczby a i b są dodatnie, więc a+b>0 i 2ab>0 . Mnożąc obie strony nierówności przez 2ab(a+b), otrzymujemy

(a+b)²≥4ab,
a²+2ab+b²≥4ab,
a²−2ab+b²≥0,
(a−b)²≥0.

Ta nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b, więc w szczególności również dla liczb dodatnich. To kończy dowód.

Nierówność możemy przekształcić równoważnie

Ponieważ liczby a i b są dodatnie, więc a+b>0 i 2ab>0. Mnożąc obie strony nierówności przez 2ab(a+b), otrzymujemy

Ta nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b, więc w szczególności również dla liczb dodatnich. To kończy dowód.

Zdający otrzymuje 1 p.

gdy zapisze nierówność w postaci (a+b)²≥4ab lub (a+b)²−4ab≥0, lub

i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.

gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.

Uwagi

1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości a i b, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

2. Jeżeli zdający zakończy rozumowanie, zapisując nierówność a²+b²≥2ab i nie powoła się na stosowne twierdzenie, to otrzymuje 1 punkt.

3. Jeżeli zdający przeprowadzi poprawne rozumowanie, które zakończy zapisaniem 2 nierówności (a−b)²≥0, to otrzymuje 2 punkty.